Задание 9: упрощение алгебраических выражений

Задание 9 в ОГЭ выглядит пугающе: длинная строка с буквами, скобками и степенями. Но пугаться не нужно — это конструктор. Нужно просто по правилам разобрать выражение на части и собрать заново, покороче. Как и в конструкторе, здесь важен порядок: сначала разбираемся со скобками и степенями, и только потом складываем и вычитаем итоговые части. В этом уроке разберём три инструмента, которыми это делается: раскрытие скобок, формулы сокращённого умножения и приведение подобных слагаемых, а в конце потренируемся находить все три инструмента в одном выражении.

Раскрытие скобок. Если перед скобкой стоит знак «плюс» (или ничего не стоит), скобки просто убираются, знаки внутри не меняются. Если перед скобкой знак «минус» — каждый знак внутри скобки меняется на противоположный. Если перед скобкой число или буква — умножаем это число на каждое слагаемое внутри.

$$ 3(a-2) - 2(1-2a) = 3a - 6 - 2 + 4a = 7a - 8 $$

Что произошло: сначала раскрыли первую скобку (умножили 3 на a и на −2), потом раскрыли вторую скобку через минус — знаки поменялись местами (было «1», стало «−2», было «−2a», стало «+4a»). После этого просто сложили одинаковые слагаемые: 3a + 4a = 7a, а −6 − 2 = −8.

Формулы сокращённого умножения (ФСУ). Это готовые «шаблоны», которые экономят время, если их узнавать в лицо. Их несложно проверить и самому — достаточно раскрыть скобки вручную по правилу «каждое слагаемое первой скобки умножить на каждое слагаемое второй», но на экзамене быстрее сразу применять готовый результат:

$$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$

$$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$

$$ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $$

Разберём пример на все три формулы сразу — типичное задание 9:

$$ (2x-3)(2x+3) - (x-5)^2 $$

Первая скобка — это разность квадратов: $ (2x-3)(2x+3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9 $. Вторая скобка — квадрат разности: $ (x-5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25 $. Теперь вычитаем вторую из первой, не забывая про минус перед всей скобкой:

$$ 4x^2 - 9 - (x^2 - 10x + 25) = 4x^2 - 9 - x^2 + 10x - 25 = 3x^2 + 10x - 34 $$

Обратите внимание: минус перед скобкой поменял знаки у обоих слагаемых внутри — это самое частое место, где теряют баллы.

Приведение подобных. Подобные слагаемые — это те, у которых одинаковая буквенная часть (например, $ 5x^2 $ и $ -3x^2 $, но не $ 5x^2 $ и $ 5x $ — это разные слагаемые). Складываются или вычитаются только коэффициенты, буквенная часть остаётся без изменений.

Рассмотрим ещё один частый трюк — выражение, которое после раскрытия скобок вообще не зависит от переменной:

$$ (x+4)^2 - x(x+8) $$

Раскрываем: $ (x+4)^2 = x^2 + 8x + 16 $, а $ x(x+8) = x^2 + 8x $. Вычитаем:

$$ x^2 + 8x + 16 - x^2 - 8x = 16 $$

Все слагаемые с $ x $ взаимно уничтожились, и ответ — просто число 16, без всякого $ x $. Такие задания специально придумывают, чтобы проверить, не потеряете ли вы слагаемые по пути. Если в вашем ответе неожиданно осталось голое число без букв — не пугайтесь, иногда это и есть правильный ответ.

Ещё один частый вид задания 9 — выражение, где нужно применить формулу сокращённого умножения дважды и затем привести подобные:

$$ (a+3)^2 - (a-3)^2 $$

Раскрываем каждый квадрат по формулам суммы и разности: $ (a+3)^2 = a^2+6a+9 $, а $ (a-3)^2 = a^2-6a+9 $. Вычитаем вторую скобку из первой, не забывая про минус перед ней:

$$ a^2+6a+9 - (a^2-6a+9) = a^2+6a+9-a^2+6a-9 = 12a $$

Слагаемые $ a^2 $ и $ 9 $ сократились полностью, остался только $ 12a $. Это тот же приём, что и в примере с константой 16 выше, просто здесь ответ зависит от переменной. Кстати, для такого вида выражений — «разность квадратов двух похожих скобок» — есть и более быстрый путь: сразу применить формулу $ (a+b)^2-(a-b)^2=4ab $ (её несложно вывести из первых двух формул ФСУ), тогда при $ b=3 $ сразу получаем $ 4 \cdot a \cdot 3 = 12a $ — тот же ответ, но в одно действие.

Частые ошибки. Первая — забыть поменять знак при раскрытии скобки с минусом впереди: $ -(x-10x+25) $ — это $ -x^2+10x-25 $, а не $ -x^2-10x-25 $. Вторая — перепутать формулу: $ (a-b)^2 $ ошибочно раскрывают как $ a^2-b^2 $, забывая среднее слагаемое $ -2ab $. Третья — «слепить» неподобные слагаемые, например, посчитать $ x^2+x $ как $ x^3 $ или $ 2x^2 $ — степени складывать нельзя, только коэффициенты у одинаковых степеней.

Проверить себя просто: подставьте в исходное и в упрощённое выражение любое число вместо переменной (например, $ x=2 $) и сравните результаты — если они совпали, скорее всего вы всё сделали верно.