Степени и стандартный вид числа

Расстояние до Солнца, размер вируса, население страны — такие числа неудобно писать столбиком нулей, поэтому у математиков есть специальный компактный формат.

Прежде чем перейти к самому формату записи больших и маленьких чисел, нужно уверенно владеть свойствами степеней — без них стандартный вид числа не разобрать. Начнём с них.

Зачем вообще нужны такие громоздкие числа

В реальной жизни числа редко бывают «круглыми» и удобными. Масса Земли — примерно 5 970 000 000 000 000 000 000 000 килограммов. Масса молекулы воды — примерно 0,0000000000000000000000299 грамма. Записывать такие числа столбиком нулей неудобно: легко ошибиться и поставить на один ноль больше или меньше, а проверить на глаз почти невозможно. Инженерам, физикам и программистам такая запись быстро надоела, и математика придумала для неё компактную форму — но прежде чем до неё добраться, нужно вспомнить правила действий со степенями, потому что именно на них эта форма и построена.

Что такое степень числа

Степень — это короткая запись многократного умножения одного и того же числа на себя. Запись $2^3$ означает «2 умножить само на себя 3 раза»:

$$ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $$

Число 2 здесь называется основанием, а маленькая цифра 3 сверху — показателем степени (или просто степенью).

Свойство 1: умножение степеней с одинаковым основанием

Когда перемножаются степени с одинаковым основанием, показатели складываются, а основание остаётся тем же:

$$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$

Проверим на числах: $2^3 \cdot 2^5$. По правилу это должно быть $2^{3+5} = 2^8$.

$$ 2^3 \cdot 2^5 = 8 \cdot 32 = 256, \qquad 2^8 = 256 $$

Числа совпали — правило работает. Складывать показатели гораздо быстрее, чем перемножать сами степени по отдельности, особенно если числа большие.

Свойство 2: деление степеней с одинаковым основанием

При делении показатели, наоборот, вычитаются:

$$ a^m : a^n = a^{m-n} $$

Пример: $3^7 : 3^4 = 3^{7-4} = 3^3 = 27$.

Свойство 3: степень в степени

Если степень сама возводится в степень, показатели перемножаются:

$$ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $$

Пример: $(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$. Легко перепутать это правило с первым свойством — здесь показатели именно перемножаются, а не складываются, потому что действие внешнее (степень применяется ко всей уже готовой степени).

Свойство 4: нулевая и отрицательная степень

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице:

$$ a^0 = 1 \quad (a \ne 0) $$

А отрицательная степень означает деление единицы на число в положительной степени:

$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$

Пример: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0{,}04$. Минус в показателе — это не «отрицательное число», а сигнал «переверни в дробь».

Стандартный вид числа: зачем он нужен

Расстояние от Земли до Солнца — примерно 150 000 000 000 метров. Считать с таким числом столбиком неудобно и легко потерять или добавить лишний ноль. Поэтому большие и маленькие числа записывают в стандартном виде:

$$ a \cdot 10^{n}, \quad \text{где } 1 \le a \lt 10 $$

Здесь $a$ — число от 1 до 10 (не включая 10), а $n$ — целая степень десятки, которая показывает, на сколько разрядов «сдвинута» запятая.

Как перевести обычное число в стандартный вид

Возьмём число 245000. Ставим запятую так, чтобы перед ней осталась ровно одна значащая цифра (получаем 2,45), а затем считаем, на сколько разрядов мы «подвинули» запятую вправо от нового положения до исходного:

$$ 245000 = 2{,}45 \cdot 10^{5} $$

Проверка: $2{,}45 \cdot 100000 = 245000$ — сходится.

Для маленьких чисел логика та же, только степень десятки будет отрицательной. Число 0,000032:

$$ 0{,}000032 = 3{,}2 \cdot 10^{-5} $$

Здесь запятую двигаем вправо (от 0,000032 до 3,2) — а раз число становится меньше единицы, степень десятки отрицательная. Проверка: $3{,}2 \cdot 10^{-5} = 3{,}2 : 100000 = 0{,}000032$ — верно.

Оценка значения выражения со стандартным видом

Частый тип задания на ОГЭ — перемножить или разделить числа, записанные в стандартном виде, не переводя их обратно в «длинную» запись. Разберём на примере.

Задача: масса одной песчинки — примерно $4 \cdot 10^{-3}$ грамма, а в мешке — $2 \cdot 10^{6}$ песчинок. Какова масса всего мешка?

Числа $a$ перемножаем между собой, а степени десятки складываем (это то же самое первое свойство степеней, просто основание теперь 10):

$$ (4 \cdot 10^{-3}) \cdot (2 \cdot 10^{6}) = (4 \cdot 2) \cdot 10^{-3+6} = 8 \cdot 10^{3} = 8000 \text{ граммов} $$

А теперь пример на деление: расстояние 900 000 000 метров нужно пройти со скоростью 300 000 метров в час. Сколько часов это займёт?

$$ \frac{9 \cdot 10^{8}}{3 \cdot 10^{5}} = \frac{9}{3} \cdot 10^{8-5} = 3 \cdot 10^{3} = 3000 \text{ часов} $$

Как сравнивать числа в стандартном виде

Ещё один частый вопрос — какое из двух чисел больше, если оба записаны в стандартном виде. Смотреть нужно сначала на степень десятки: чем она больше, тем больше само число, независимо от того, какой перед ней множитель $a$.

Сравним $3{,}2 \cdot 10^{7}$ и $4{,}1 \cdot 10^{6}$. У первого числа степень 7, у второго — 6. Раз $7 \gt 6$, первое число больше, даже несмотря на то, что множитель $3{,}2$ меньше, чем $4{,}1$:

$$ 3{,}2 \cdot 10^{7} = 32\,000\,000, \qquad 4{,}1 \cdot 10^{6} = 4\,100\,000 $$

И только если степени десятки у обоих чисел совпадают, сравнивать нужно множители $a$ — тогда больше то число, у которого больше $a$.

Частые ошибки

Путают правила «показатели складываются» и «показатели перемножаются». При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются ($a^m \cdot a^n$), а при возведении степени в степень — перемножаются ($(a^m)^n$). Это разные операции с разным результатом.
Считают, что отрицательная степень даёт отрицательное число. $5^{-2} = 0{,}04$ — положительное число, просто маленькое. Минус в показателе означает «единица делить на степень», а не смену знака.
Оставляют в стандартном виде число $a$ вне диапазона от 1 до 10. Запись $24{,}5 \cdot 10^{4}$ математически равна 245000, но это не стандартный вид — первый множитель обязан быть от 1 (включительно) до 10 (не включая).
Ошибаются со знаком степени десятки для чисел меньше единицы — забывают, что степень должна быть отрицательной, если исходное число меньше 1.
При сравнении чисел в стандартном виде смотрят только на множитель $a$, забывая, что решающую роль играет именно степень десятки — число с большей степенью всегда больше, каким бы маленьким ни был его множитель $a$.

Итоги

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются.
При возведении степени в степень показатели перемножаются.
Любое число в нулевой степени равно 1; отрицательная степень означает переход к дроби: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Стандартный вид числа — это запись $a \cdot 10^{n}$, где $1 \le a \lt 10$; для чисел больше 10 степень положительная, для чисел меньше 1 — отрицательная.
При умножении и делении чисел в стандартном виде числа $a$ действуют отдельно, а степени десятки складываются или вычитаются по тем же свойствам степеней.