Обыкновенные и десятичные дроби

Дроби — это то, с чего начинается почти любой номер 1-5 в ОГЭ: без них не решить ни проценты, ни степени, ни текстовые задачи.

Если ты уверенно складываешь, вычитаешь, умножаешь и делишь дроби — считай, что четверть первой части экзамена у тебя уже в кармане. Это база, на которой держится всё остальное.

Что такое дробь и зачем два вида записи

Дробь — это способ записать часть от целого. Если пиццу разрезали на 8 кусков и ты съел 3, то ты съел $\frac{3}{8}$ пиццы. Число сверху (3) называется числителем — сколько частей взяли. Число снизу (8) называется знаменателем — на сколько частей разделили целое.

Ту же самую часть можно записать и по-другому — десятичной дробью: $\frac{3}{8} = 0{,}375$. Это одно и то же число, просто две разные «одежды» для него. На ОГЭ нужно уверенно переодевать число из одной формы в другую, потому что в задаче может быть дано в одном виде, а ответ спросят в другом.

Перевод десятичной дроби в обыкновенную

Правило простое: то, что после запятой, становится числителем, а знаменатель — единица с нулями по числу цифр после запятой.

$$ 0{,}375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8} $$

Здесь важен второй шаг — сокращение. Дробь $\frac{375}{1000}$ — правильный ответ, но её обязательно нужно сократить до несократимого вида, иначе на экзамене могут не засчитать. Ищем общий делитель: и 375, и 1000 делятся на 125, получаем $\frac{3}{8}$.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Здесь всё ещё проще — это обычное деление числителя на знаменатель столбиком или в уме:

$$ \frac{7}{20} = 7 : 20 = 0{,}35 $$

Но будь внимателен: не каждая обыкновенная дробь превращается в «красивую» десятичную. Например, $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ — это бесконечная периодическая дробь. В заданиях ОГЭ такие дроби почти не встречаются в чистом виде именно потому, что ответ должен быть конечным числом — но стоит помнить, что не всё обязано делиться без остатка.

Действия с дробями: общий знаменатель — это святое

Складывать и вычитать дроби напрямую можно только тогда, когда у них одинаковый знаменатель. Если знаменатели разные, их сначала нужно привести к общему — обычно это наименьшее общее кратное (НОК) обоих знаменателей.

Разберём пример: посчитаем $\frac{5}{6} - \frac{3}{8}$.

Знаменатели 6 и 8. Их НОК — 24 (это наименьшее число, которое делится и на 6, и на 8). Домножаем каждую дробь так, чтобы знаменатель стал 24:

$$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}, \qquad \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24} $$

Теперь знаменатели одинаковые, вычитаем числители:

$$ \frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{11}{24} $$

Дробь $\frac{11}{24}$ дальше не сокращается (11 — простое число, а 24 на 11 не делится), значит, это и есть окончательный ответ.

Умножение и деление дробей — знаменатель не мешает

А вот с умножением и делением всё наоборот: общий знаменатель не нужен вообще. При умножении числители перемножаются между собой, знаменатели — между собой:

$$ \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 7} = \frac{6}{35} $$

При делении дробь-делитель переворачивают и умножают — это единственное, что нужно запомнить про деление:

$$ \frac{4}{9} : \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $$

Смешанные числа: целая часть плюс дробь

Число вроде $2\frac{3}{4}$ называется смешанным — это сокращённая запись суммы целого числа и дроби: $2\frac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4}$. Смешанные числа удобны для чтения (сразу видно, что число «чуть больше двух»), но крайне неудобны для вычислений — с ними нельзя напрямую умножать, делить, а часто и вычитать. Поэтому первый шаг почти всегда один и тот же: превратить смешанное число в неправильную дробь (это дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему).

Делается это так: целую часть умножаем на знаменатель дробной части и прибавляем числитель, а знаменатель оставляем тем же:

$$ 2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4} $$

Разберём вычитание смешанных чисел на примере: $3\frac{1}{4} - 1\frac{5}{6}$. Сначала переводим оба числа в неправильные дроби: $3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}$, а $1\frac{5}{6} = \frac{11}{6}$. Дальше — обычное вычитание дробей с приведением к общему знаменателю (НОК чисел 4 и 6 — это 12):

$$ \frac{13}{4} - \frac{11}{6} = \frac{39}{12} - \frac{22}{12} = \frac{17}{12} = 1\frac{5}{12} $$

Обрати внимание на ловушку: если вычитать «в лоб» целые части отдельно и дробные части отдельно ($3 - 1$ и $\frac{1}{4} - \frac{5}{6}$), дробная часть уйдёт в минус, потому что $\frac{1}{4}$ меньше $\frac{5}{6}$ — и придётся «занимать» единицу у целой части, что легко сделать с ошибкой. Перевод в неправильную дробь избавляет от этой возни полностью.

Практическая задача: обои для стены

В магазине рулон обоев покрывает $\frac{7}{8}$ квадратного метра стены. Сколько квадратных метров покроют 2 целых и $\frac{3}{4}$ таких рулона?

Переводим смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$. Дальше — обычное умножение дробей:

$$ \frac{7}{8} \cdot \frac{11}{4} = \frac{77}{32} = 2\frac{13}{32} = 2{,}40625 \text{ м}^2 $$

Получили чуть больше 2,4 квадратного метра. Заметь: смешанное число $2\frac{3}{4}$ пришлось сначала «распаковать» в неправильную дробь — это обязательный первый шаг перед любым действием со смешанными числами.

Частые ошибки

Складывают числители и знаменатели напрямую, без общего знаменателя: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \ne \frac{2}{5}$. Так дроби никогда не складываются — сначала обязательно приводим к общему знаменателю.
Забывают сократить ответ. Дробь вроде $\frac{20}{24}$ формально верна, но экзамен обычно требует несократимый вид — всегда проверяй, есть ли общий делитель у числителя и знаменателя.
Путают правило умножения и деления. При умножении дробь не переворачивают, переворот делают только при делении — и только у второй дроби (делителя).
Не переводят смешанное число в неправильную дробь перед умножением, делением или вычитанием, из-за чего действуют отдельно с целой и отдельно с дробной частью — при вычитании это особенно опасно, если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Итоги

Дробь можно записать как обыкновенную ($\frac{a}{b}$) или десятичную (0,375) — это одно и то же число в разной форме.
Смешанное число — это сумма целой части и дроби; перед любым действием его переводят в неправильную дробь.
Для сложения и вычитания дробей нужен общий знаменатель — обычно НОК знаменателей.
Для умножения дробей знаменатель не нужен: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.
Деление — это умножение на «перевёрнутую» вторую дробь.
Ответ всегда приводи к несократимому виду, а смешанные числа переводи в неправильную дробь перед любым действием.