Проценты и части величины

Скидки в магазине, проценты по вкладу, доля учеников класса — почти любая жизненная задача на ОГЭ рано или поздно превращается в вычисление процентов.

Процент — это просто сотая часть числа. Всего одна идея, из которой вырастают три типа задач: найти процент от числа, найти число по проценту и найти, сколько процентов составляет одно число от другого. Разберём все три.

Процент — это сотая доля

Слово «процент» происходит от латинского «pro centum» — «на сто». Один процент — это одна сотая часть числа:

$$ 1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01 $$

Отсюда главный рабочий приём: чтобы превратить проценты в число, с которым удобно считать, нужно разделить их на 100 — то есть просто перенести запятую на два знака влево. $15\% = 0{,}15$, а $8\% = 0{,}08$.

Задача первого типа: найти процент от числа

Формула здесь одна и та же всегда: переводим проценты в дробь и умножаем на число.

$$ a\% \text{ от } N = N \cdot \frac{a}{100} $$

Пример: в классе 640 учеников участвуют в олимпиаде, а конкретно по математике — это 15% от них. Сколько человек пишут математику?

$$ 640 \cdot \frac{15}{100} = 640 \cdot 0{,}15 = 96 \text{ учеников} $$

Задача второго типа: найти число по его проценту

Здесь ситуация обратная: известна часть и известно, сколько процентов она составляет, а нужно найти целое число. Идея — разделить известную часть на дробь-процент.

$$ N = \frac{\text{часть}}{a\% \text{ в виде дроби}} $$

Пример: 20% числа равны 90. Найти само число.

$$ N = \frac{90}{0{,}20} = 450 $$

Проверка: $450 \cdot 0{,}20 = 90$ — сходится, значит число найдено верно. Проверка обратным действием — хорошая привычка, которая на экзамене спасает от обидных ошибок.

Задача третьего типа: сколько процентов одно число составляет от другого

Здесь делим часть на целое и переводим результат обратно в проценты — то есть умножаем на 100.

$$ a\% = \frac{\text{часть}}{\text{целое}} \cdot 100\% $$

Пример: в школе 240 учеников, из них 36 занимаются в шахматном кружке. Какой процент учеников школы ходит на шахматы?

$$ \frac{36}{240} \cdot 100\% = 0{,}15 \cdot 100\% = 15\% $$

Как быстро понять, какой тип задачи перед тобой

Три формулы легко перепутать, поэтому полезен простой ориентир: смотри, чего именно не хватает в условии. Если известны число и его процент, а спрашивают саму часть — умножай (тип 1). Если известна часть и её процент, а спрашивают целое число — дели (тип 2). Если известны и часть, и целое, а спрашивают, сколько это в процентах, — дели часть на целое и умножай на 100 (тип 3). Потренируйся определять тип по вопросу задачи ещё до того, как начнёшь считать — это экономит время на экзамене и снижает число ошибок в спешке.

Скидки и наценки — самая частая жизненная задача

Скидка означает, что от исходной цены вычитают процент, а наценка — что процент прибавляют. Разберём оба случая на реальных числах.

Куртка стоила 3200 рублей, на неё объявили скидку 25%. Сколько будет стоить куртка со скидкой?

Сначала находим саму скидку в рублях — это 25% от 3200:

$$ 3200 \cdot 0{,}25 = 800 \text{ рублей — скидка} $$

Цена со скидкой — это исходная цена минус скидка:

$$ 3200 - 800 = 2400 \text{ рублей} $$

Быстрый способ решить это в одно действие: раз мы вычитаем 25%, значит покупатель платит оставшиеся $100\% - 25\% = 75\%$ от цены, то есть $3200 \cdot 0{,}75 = 2400$ — тот же самый ответ за один шаг.

Теперь наценка: товар закупили за 1800 рублей, магазин делает наценку 30%. Какова цена продажи?

$$ 1800 \cdot (1 + 0{,}30) = 1800 \cdot 1{,}30 = 2340 \text{ рублей} $$

Ещё один пример: банковский вклад

Проценты работают не только в магазине. На счёт в банке положили 12 000 рублей под 6% годовых. Сколько денег окажется на счёте через год, если банк один раз в конце года начисляет проценты на всю сумму?

Это та же самая логика, что и с наценкой: к исходной сумме прибавляется 6% от неё же.

$$ 12000 \cdot (1 + 0{,}06) = 12000 \cdot 1{,}06 = 12720 \text{ рублей} $$

Начисленные проценты — это разница: $12720 - 12000 = 720$ рублей чистого дохода за год.

Ловушка: два процентных изменения подряд не складываются

Это классическая ловушка ОГЭ. Если цену сначала повысили на 20%, а потом понизили на 20% — многие по привычке думают, что цена вернулась к исходной. Это неверно! Проверим на числах: пусть исходная цена — 1000 рублей.

После повышения на 20%: $1000 \cdot 1{,}20 = 1200$ рублей.

После понижения на 20% от новой цены 1200, а не от исходной 1000: $1200 \cdot 0{,}80 = 960$ рублей.

Итог — 960, а не 1000! Дело в том, что 20% от 1200 — это больше, чем 20% от 1000, поэтому понижение «съедает» больше рублей, чем прибавило повышение. Каждый процент всегда считается от той величины, которая есть на этом шаге, а не от самой первой.

Частые ошибки

Складывают или вычитают проценты вместо того, чтобы считать от текущей величины. +20% и -20% не возвращают число к исходному — итог всегда меньше исходного (это видно на примере выше).
Путают, от какого числа искать процент. В задачах на скидку/наценку важно чётко понимать: процент всегда берётся от исходной (базовой) величины на конкретном шаге, а не от результата.
Забывают перевести проценты в дробь перед умножением — то есть умножают число сразу на 15 вместо 0,15.
Путают формулы «найти процент от числа» и «найти число по проценту» — в первом случае умножают, во втором делят.

Итоги

Один процент — это одна сотая часть числа: $1\% = 0{,}01$.
Чтобы найти процент от числа — умножь число на дробь-процент.
Чтобы найти число по его проценту — раздели известную часть на дробь-процент.
Чтобы найти, сколько процентов составляет одно число от другого — раздели часть на целое и умножь на 100%.
Скидка — это умножение на $(1 - \text{доля})$, наценка — умножение на $(1 + \text{доля})$; при нескольких последовательных изменениях каждый процент считается от текущей величины, а не от исходной.