Задания 6-8: треугольники на рисунке
Разбираемся, как по готовому чертежу треугольника быстро находить неизвестные углы и стороны.
Планиметрия — раздел геометрии, где всё происходит на плоскости: треугольники, окружности, четырёхугольники без всякого «3D».
Что вообще спрашивают в заданиях 6-8
На экзамене вам показывают треугольник с подписанными данными — какими-то углами, сторонами, иногда высотой или медианой — и просят найти то, чего не хватает. Это не «докажи теорему», а «посчитай число». Значит, наша задача — не зубрить доказательства, а держать под рукой пару рабочих формул и уметь быстро понять, какая подходит.
Первое, с чего нужно начинать: сумма углов любого треугольника всегда равна 180°. Если на чертеже подписаны два угла — третий вы уже знаете, даже не открывая учебник.
Например, если один угол треугольника равен 60°, а другой 45°, третий угол считается так:
$$ 180° - 60° - 45° = 75° $$
Половина заданий 6-8 решается именно этим приёмом — без всяких теорем, просто вычитанием.
Теорема синусов: связываем углы и стороны
Когда одной суммы углов не хватает — например, известна сторона и угол, а нужно найти другую сторону — на помощь приходит теорема синусов. Она говорит: в любом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего ей угла — одно и то же число для всех трёх сторон.
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$
Здесь $ a $ — сторона, а $ A $ — угол, который лежит напротив этой стороны (не рядом, а именно напротив, через весь треугольник). Это ключевой момент: перепутаете, какой угол против какой стороны — получите неверный ответ.
Разберём пример. Пусть в треугольнике сторона $ a = 10 $ см лежит напротив угла $ A = 30° $, а нужно найти сторону $ b $, которая лежит напротив угла $ B $, и известно, что $ B $ даёт синус, вычисленный из пропорции при стороне $ b = 14 $ см. Задача обычно звучит наоборот — дан угол, найдите синус другого угла. Возьмём конкретные числа: $ a = 10 $, $ A = 30° $, $ b = 14 $. Нужно найти угол $ B $.
$$ \sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{14 \cdot \sin 30°}{10} = \frac{14 \cdot 0{,}5}{10} = 0{,}7 $$
Дальше через калькулятор или таблицу синусов получаем $ B \approx 44{,}4° $. Проверим вычисление кодом — это ровно та формула, которую вы будете применять руками на экзамене, только тут её выполнит компьютер, чтобы сверить результат.
import math
a = 10
A_deg = 30
b = 14
sin_B = b * math.sin(math.radians(A_deg)) / a
B_deg = math.degrees(math.asin(sin_B))
print("sin B =", round(sin_B, 4))
print("Угол B =", round(B_deg, 1), "градусов")Вывод:
sin B = 0.7 Угол B = 44.4 градусов
Теорема косинусов: когда известны две стороны и угол между ними
Теорема синусов не поможет, если у вас есть только стороны и угол между ними (а не напротив). Тут работает теорема косинусов — это как теорема Пифагора, но для любого треугольника, а не только прямоугольного:
$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C $$
Здесь $ C $ — угол между сторонами $ a $ и $ b $, а $ c $ — сторона напротив этого угла (та самая, которую мы ищем). Если угол $ C = 90° $, то $ \cos 90° = 0 $, и формула превращается ровно в теорему Пифагора — это не совпадение, а частный случай.
Возьмём пример: стороны $ a = 7 $ см и $ b = 9 $ см образуют угол $ 60° $. Найдём третью сторону.
$$ c^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos 60° = 49 + 81 - 126 \cdot 0{,}5 = 130 - 63 = 67 $$
$$ c = \sqrt{67} \approx 8{,}19 \text{ см} $$
import math
a = 7
b = 9
angle_C_deg = 60
c_squared = a**2 + b**2 - 2 * a * b * math.cos(math.radians(angle_C_deg))
c = math.sqrt(c_squared)
print("c^2 =", c_squared)
print("c =", round(c, 2), "см")Вывод:
c^2 = 67.00000000000001 c = 8.19 см
Как читать чертёж перед вычислением
Прежде чем хвататься за формулы, потратьте 20 секунд на чтение рисунка:
- Отметьте, какие углы и стороны подписаны цифрами — это данные.
- Проверьте, нет ли прямого угла (маленький квадратик в вершине) — тогда, возможно, хватит теоремы Пифагора и таблицы тригонометрии для прямоугольного треугольника, без синусов-косинусов.
- Посмотрите, не равнобедренный ли треугольник (одинаковые метки-«галочки» на двух сторонах) — тогда углы при основании равны, и это часто сразу даёт ответ.
- Ищите вспомогательные линии: высоту, медиану, биссектрису — они часто делят треугольник на два более простых.
Частые ошибки
Самая частая ошибка — перепутать, какая сторона против какого угла, в теореме синусов. Смотрите на чертёж внимательно: сторона и «её» угол никогда не соприкасаются, между ними всегда вся оставшаяся фигура.
Вторая по частоте — забыть перевести угол в радианы при подсчёте на калькуляторе (или наоборот, спутать режимы DEG/RAD). Большинство калькуляторов на экзамене работают в градусах — заранее проверьте, в каком режиме находится ваш.
Третья — использовать теорему косинусов не для того угла. Формула $ c^2 = a^2+b^2-2ab\cos C $ работает, только если $ C $ — угол именно между сторонами $ a $ и $ b $, а не какой-то другой угол треугольника.
Итоги урока
- Сумма углов треугольника — всегда 180°, это первое, что стоит проверить.
- Теорема синусов связывает стороны и противолежащие им углы: $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $.
- Теорема косинусов нужна, когда известен угол между двумя сторонами: $ c^2 = a^2+b^2-2ab\cos C $.
- При $ C = 90° $ теорема косинусов превращается в теорему Пифагора.