Задания 15-16: окружность и углы

Разбираем, как углы и хорды окружности связаны между собой — и как это использовать для быстрого счёта.

Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого — хорды (отрезки, соединяющие точки окружности).

Центральный и вписанный угол: главное правило раздела

Представьте циферблат часов. Если провести два радиуса — от центра к цифре 12 и к цифре 3 — получится центральный угол, вершина которого в центре окружности. А если вместо центра взять вершину где-нибудь на самом циферблате, например у цифры 6, и провести хорды к 12 и к 3 — получится вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.

Правило, которое решает добрую половину заданий 15-16: вписанный угол равен половине центрального угла, если оба опираются на одну и ту же дугу.

$$ \angle \text{вписанный} = \frac{1}{2} \angle \text{центральный} $$

Например, если центральный угол равен 100°, вписанный, опирающийся на ту же дугу, будет ровно 50°:

central_angle = 100
inscribed_angle = central_angle / 2

print("Центральный угол:", central_angle, "градусов")
print("Вписанный угол:", inscribed_angle, "градусов")

Вывод:

Центральный угол: 100 градусов
Вписанный угол: 50.0 градусов

Отсюда сразу два полезных следствия, которые часто встречаются в заданиях:

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой — не важно, где именно на окружности стоит вершина.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90° — потому что центральный угол при диаметре равен 180° (это же прямая линия через центр), а половина от 180° — это 90°.

Касательная и хорда: угол между ними

Ещё одна частая ситуация — окружность с касательной прямой (прямая, которая касается окружности ровно в одной точке, не пересекая её) и хордой, проведённой из этой же точки касания.

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую эта хорда «отсекает» — то есть заключает внутри себя:

$$ \angle(\text{касательная}, \text{хорда}) = \frac{1}{2} \smile $$

где $ \smile $ — градусная мера дуги. Например, если дуга, заключённая между хордой и точкой касания, равна 84°, угол между касательной и хордой:

$$ \frac{84°}{2} = 42° $$

arc_degrees = 84
tangent_chord_angle = arc_degrees / 2

print("Дуга:", arc_degrees, "градусов")
print("Угол между касательной и хордой:", tangent_chord_angle, "градусов")

Вывод:

Дуга: 84 градусов
Угол между касательной и хордой: 42.0 градусов

Радиус, перпендикулярный касательной

Ещё один факт, который экономит время: радиус, проведённый в точку касания, всегда перпендикулярен касательной ($ r \perp $ касательная в этой точке). Это значит, что если провести радиус к точке касания и хорду или отрезок от внешней точки до точки касания, часто получается прямоугольный треугольник — и можно применить теорему Пифагора.

Классическая задача: из точки, удалённой от центра окружности на $ d = 13 $ см, проведена касательная к окружности радиуса $ r = 5 $ см. Найдите длину касательной (от внешней точки до точки касания).

Поскольку радиус перпендикулярен касательной в точке касания, треугольник «центр — точка касания — внешняя точка» прямоугольный, где $ d $ — гипотенуза:

$$ \text{касательная} = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см} $$

import math

r = 5
d = 13

tangent_length = math.sqrt(d**2 - r**2)
print("Длина касательной:", tangent_length, "см")

Вывод:

Длина касательной: 12.0 см

Кстати, числа 5, 12, 13 — это классическая «пифагорова тройка», она то и дело всплывает в задачах ОГЭ. Если увидите такие числа на чертеже — почти наверняка это прямоугольный треугольник, и что-то можно посчитать без калькулятора.

Частые ошибки

Самая частая путаница — забыть про коэффициент $ \frac{1}{2} $ и написать вписанный угол равным центральному. Второй по частоте промах — применить правило «вписанный = половина дуги» к углу, вершина которого не лежит на окружности (например, внутри круга на пересечении двух хорд — там уже другая формула, с полусуммой двух дуг, но она в заданиях 15-16 встречается редко).

Ещё одна ловушка — перепутать, какая дуга «своя» для вписанного угла. Вписанный угол опирается не на ближнюю к нему дугу, а на дальнюю — ту, что находится «напротив» вершины угла, между его сторонами.

Итоги урока

Вписанный угол равен половине центрального, если оба опираются на одну дугу.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90°.
Угол между касательной и хордой равен половине заключённой между ними дуги.
Радиус в точке касания перпендикулярен касательной — это часто даёт прямоугольный треугольник для теоремы Пифагора.