Задание 19: выбор верных утверждений

Учимся быстро отличать верные геометрические утверждения от неверных, не тратя время на построения.

Контрпример — конкретный пример фигуры, для которой утверждение не выполняется. Один контрпример полностью опровергает утверждение.

Что за задание и почему оно пугает

Задание 19 даёт вам список из нескольких утверждений про треугольники, четырёхугольники, окружности — и просит выбрать номера верных. Пугает оно тем, что выглядит как «докажи всю геометрию сразу». На деле же это задание не про доказательства, а про проверку на прочность: для каждого утверждения нужно либо вспомнить, что оно всегда верно (это теорема), либо придумать один контрпример, который его ломает.

Ключевая идея: чтобы доказать, что утверждение верно всегда, нужна теорема. А чтобы доказать, что оно неверно, достаточно ОДНОГО примера, где оно не работает. Именно поэтому контрпримеры — ваш главный инструмент в этом задании: искать их обычно быстрее, чем вспоминать точную формулировку теоремы.

Приём 1: рисуйте «на глаз», но правильно

Даже если утверждение общее («в любом треугольнике...»), проверяйте его на конкретной фигуре, которую легко представить или набросать. Не нужно линейки и транспортира — важна топология (что с чем пересекается, что больше чего), а не идеальная точность.

Возьмём утверждение: «В любом треугольнике сумма двух меньших сторон больше третьей стороны». Это на самом деле верное утверждение — оно называется неравенством треугольника, и оно означает, что треугольник вообще существует (иначе стороны просто не сомкнутся в фигуру). Проверим на числах: стороны 5, 7, 10.

$$ 5 + 7 = 12 \gt 10 $$

Раз $ 12 > 10 $ — треугольник с такими сторонами существует, и утверждение подтверждается. А если бы взяли стороны 3, 4, 10 — то $ 3+4=7 \lt 10 $, и такого треугольника просто не бывает: короткие стороны физически не дотянутся друг до друга.

Приём 2: ищите контрпример через «крайний случай»

Многие ложные утверждения рушатся на вырожденных или крайних формах фигуры. Возьмём утверждение: «диагонали любого четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам». Это верно для параллелограмма — но не для любого четырёхугольника!

Контрпример: возьмите обычную трапецию (у неё только одна пара параллельных сторон). Её диагонали пересекаются, но не делятся пополам — более длинная часть каждой диагонали всегда со стороны большего основания. Одного этого примера достаточно, чтобы поставить утверждение в список неверных.

Похожая ловушка: «в любом треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, — это один и тот же отрезок». Верно только для равнобедренного (и равностороннего) треугольника, где эта вершина — вершина при основании. В разностороннем треугольнике это три разных отрезка. Контрпример: разносторонний треугольник со сторонами 5 см, 6 см и 7 см — там высота, медиана и биссектриса из любой вершины не совпадают.

Приём 3: держите в голове набор надёжных теорем

Часть утверждений в задании 19 — это прямые переформулировки теорем, которые вы уже разобрали в этом разделе. Полезно держать в голове короткий список того, что всегда верно:

• Сумма углов треугольника всегда равна 180°.
• Сумма углов выпуклого четырёхугольника всегда равна 360°.
• Вписанный угол равен половине центрального, если оба опираются на одну дугу.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90°.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Если утверждение — это одна из этих формулировок (или прямо из неё следует), смело помечайте его верным без долгих раздумий.

Мини-практика: проверяем набор утверждений

Возьмём три утверждения и быстро проверим каждое рассуждением «теорема или контрпример»:

Проверим арифметику из первой строки прямо кодом — она типична для задания 19, когда утверждение сводится к сумме углов:

right_angle = 90
triangle_sum = 180

sum_of_acute_angles = triangle_sum - right_angle
print("Сумма острых углов:", sum_of_acute_angles, "градусов")

Вывод:

Сумма острых углов: 90 градусов

Частые ошибки

Самая типичная ошибка — считать утверждение верным просто потому, что оно «звучит логично» или похоже на знакомую теорему, но с одним изменённым словом (например, «любой четырёхугольник» вместо «параллелограмм»). Читайте формулировку буквально, слово за словом — экзамен специально проверяет именно эту внимательность.

Вторая ошибка — пытаться доказать неверное утверждение общими рассуждениями вместо того, чтобы просто нарисовать (хотя бы мысленно) контрпример. Строгое доказательство «от противного» отнимает время, а контрпример на конкретных числах закрывает вопрос за секунды.

Третья ошибка — путать «выпуклый» и «невыпуклый» четырёхугольник или забывать, что теоремы про сумму углов и диагонали часто требуют именно выпуклости фигуры.

Итоги урока

• Чтобы подтвердить утверждение — нужна теорема; чтобы опровергнуть — достаточно одного контрпримера.
• Проверяйте формулировку буквально: замена одного слова («параллелограмм» → «четырёхугольник») меняет верный ответ на неверный.
• Крайние и вырожденные случаи фигур (трапеция вместо параллелограмма, разносторонний треугольник вместо равнобедренного) — источник самых надёжных контрпримеров.
• Держите под рукой список из 5-6 теорем, которые точно всегда верны, — это быстро закрывает половину утверждений.