Систематические, случайные и грубые погрешности

Урок о том, чем смещение отличается от разброса и почему один промах может испортить всю серию.

Погрешность — отклонение результата измерения от истинного значения величины. По природе погрешности делят на систематические, случайные и грубые.

Аналогия со стрельбой по мишени проясняет всё. Систематическая погрешность сдвигает всю кучу попаданий в сторону от центра. Случайная разбрасывает попадания вокруг их среднего. Грубая — это шальная пуля, улетевшая в молоко.

Систематическая погрешность

Систематическая погрешность одинакова (или закономерна) во всех измерениях серии. Источники — смещённый ноль прибора, неверный коэффициент калибровки, влияние температуры. Главное свойство: усреднение её не убирает. Если линейка стёрта на первом миллиметре, все измерения завышены на один и тот же миллиметр, сколько бы раз вы ни мерили.

Случайная погрешность

Случайная погрешность непредсказуемо меняется от измерения к измерению: дрожание руки, шум электроники, флуктуации. Её среднее стремится к нулю, поэтому усреднение многих измерений её уменьшает. Именно случайную составляющую укрощает статистика, о которой третий раздел.

Грубая погрешность (промах)

Грубая погрешность — результат, резко выпадающий из ряда: записали 152 вместо 15,2, дёрнули прибор. Промахи надо выявлять и отбрасывать, иначе один такой результат перекосит и среднее, и разброс.

Как работает под капотом

Смоделируем серию измерений с истинным значением 20,0. Добавим систематический сдвиг +0,5, случайный шум и один грубый промах. Посмотрим, как каждая составляющая влияет на среднее.

import random, statistics
random.seed(7)

istina = 20.0
sdvig = 0.5  # систематическая ошибка
seriya = [istina + sdvig + random.gauss(0, 0.3) for _ in range(10)]
seriya[4] = 35.0  # грубый промах

sr_s_promahom = statistics.mean(seriya)
bez_promaha = statistics.mean([x for x in seriya if x < 30])
print("Среднее с промахом:", round(sr_s_promahom, 2))
print("Среднее без промаха:", round(bez_promaha, 2))
print("Истина + систематика:", istina + sdvig)

Вывод:

Среднее с промахом: 21.95
Среднее без промаха: 20.5
Истина + систематика: 20.5

Без промаха среднее село точно на «истина плюс систематика» (20,5): случайный шум усреднился. Но один промах сдвинул среднее почти на 1,5 единицы. А систематический сдвиг 0,5 не убирается усреднением вовсе — он остался в результате.

Частые ошибки

• Надеяться, что усреднение уберёт систематическую погрешность — оно убирает только случайную.
• Оставлять явные промахи в выборке: они портят и среднее, и оценку разброса.
• Отбрасывать «неудобные» точки без критерия, выдавая желаемое за измеренное. Промах отсекают по статистическому правилу, а не по вкусу.

Итог

• Систематическая погрешность смещает результат и не убирается усреднением.
• Случайная погрешность разбрасывает результат, её снижает усреднение многих измерений.
• Грубая погрешность (промах) выпадает из ряда и подлежит выявлению и отбрасыванию.
• Понимание природы погрешности определяет способ борьбы с ней.