Абсолютная и относительная погрешность

Урок о двух способах выразить погрешность и о том, почему «один миллиметр» — это много или мало в зависимости от того, что мерили.

Абсолютная погрешность $\Delta$ — модуль разности между измеренным и истинным значением, в тех же единицах, что и величина. Относительная погрешность $\delta = \Delta/x$ — отношение абсолютной к самой величине, безразмерная.

Ошибка в один миллиметр при измерении длины волоса — катастрофа, а при измерении длины футбольного поля — пыль. Абсолютная погрешность в обоих случаях одинакова, но смысл её совершенно разный. Относительная погрешность учитывает масштаб и потому честнее сравнивает точность.

Формулы

Абсолютная погрешность:

$$\Delta = \lvert x_{\text{изм}} - x_{\text{ист}} \rvert$$

Относительная погрешность, обычно в процентах:

$$\delta = \frac{\Delta}{\lvert x \rvert} \cdot 100\%$$

Результат с погрешностью записывают как $x = x_{\text{изм}} \pm \Delta$. Например, $L = (152{,}0 \pm 0{,}5)\,\text{мм}$, что даёт $\delta \approx 0{,}33\%$.

Зачем нужны обе

Абсолютная погрешность нужна, чтобы записать интервал, в котором лежит истинное значение. Относительная нужна, чтобы сравнить точность разных измерений и разных приборов. Прибор, дающий $\delta = 0{,}1\%$, точнее прибора с $\delta = 1\%$, независимо от того, что именно они мерят.

Как работает под капотом

Сравним точность двух измерений: длина волоса и длина поля, у обоих абсолютная погрешность 1 мм. Относительная погрешность сразу расставит всё по местам.

def pogreshnosti(znachenie, delta):
    otn = delta / abs(znachenie) * 100
    return otn

volos_mm = 80.0       # длина волоса 8 см
pole_mm = 105_000.0   # длина поля 105 м
delta_mm = 1.0        # одинаковая абсолютная погрешность

print("Волос: delta=1 мм, отн.погр =", round(pogreshnosti(volos_mm, delta_mm), 3), "%")
print("Поле:  delta=1 мм, отн.погр =", round(pogreshnosti(pole_mm, delta_mm), 6), "%")

Вывод:

Волос: delta=1 мм, отн.погр = 1.25 %
Поле:  delta=1 мм, отн.погр = 0.001 %

Одна и та же абсолютная погрешность даёт относительную, отличающуюся в тысячу раз. Для волоса миллиметр — это 1,25%, для поля — ничтожная тысячная доля процента.

Когда какую использовать

Частые ошибки

• Сравнивать точность по абсолютной погрешности без учёта масштаба величины.
• Забывать модуль: погрешность всегда неотрицательна.
• Записывать относительную погрешность как долю, но называть процентами (или наоборот) — следите за множителем 100.

Итог

• Абсолютная погрешность $\Delta$ — в единицах величины, задаёт интервал результата.
• Относительная погрешность $\delta = \Delta/x$ — безразмерная, сравнивает точность.
• Одинаковая абсолютная погрешность означает совершенно разную относительную при разном масштабе.
• Для произведений и степеней удобнее работать именно с относительными погрешностями.