Напряжение, деформация и закон Гука

Урок вводит базовые величины механики материалов: напряжение, деформацию и связывающий их модуль Юнга.

Закон Гука — в области упругости напряжение пропорционально деформации: $\sigma = E\,\varepsilon$.

Чтобы рассчитать, выдержит ли балка нагрузку, инженер оперирует не силой и удлинением, а напряжением и деформацией — величинами, не зависящими от размеров образца. Это позволяет переносить результаты испытаний на детали любого масштаба.

Зачем это инженеру

Сила в 1000 Н опасна для тонкой проволоки и безобидна для рельса. Чтобы сравнивать материалы, нагрузку нормируют на площадь, а удлинение — на длину. Так появляются универсальные характеристики материала.

Основные величины

Напряжение — сила на единицу площади:

$$ \sigma = \frac{F}{A} $$

Относительная деформация — удлинение на единицу длины:

$$ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} $$

В упругой области они связаны модулем Юнга $E$ (модулем упругости): $\sigma = E\varepsilon$. Модуль $E$ — это жёсткость материала: у стали около 200 ГПа, у алюминия 70 ГПа, у резины — мегапаскали.

Как работает под капотом

Модуль Юнга отражает крутизну той самой энергетической ямы из первого раздела: чем круче стенки ямы у $r_0$, тем сильнее сопротивляется материал растяжению связей, тем выше $E$. Поэтому модуль почти не меняется термообработкой — связи остаются теми же. Посчитаем удлинение стального стержня под нагрузкой.

import math

F = 20000.0      # Н, приложенная сила
d = 0.010        # м, диаметр стержня
L0 = 2.0         # м, длина
E = 200e9        # Па, модуль Юнга стали

A = math.pi * (d/2)**2          # площадь сечения
sigma = F / A                   # напряжение
eps = sigma / E                 # деформация
dL = eps * L0                   # удлинение

print("Площадь сечения =", format(A, ".2e"), "м^2")
print("Напряжение =", round(sigma/1e6, 1), "МПа")
print("Деформация =", format(eps, ".2e"))
print("Удлинение =", round(dL*1000, 3), "мм")

Вывод:

Площадь сечения = 7.85e-05 м^2
Напряжение = 254.6 МПа
Деформация = 1.27e-03
Удлинение = 2.546 мм
Деформация = 1.27e-03

Стержень удлинился всего на 2,5 мм при двухтонной нагрузке — и это полностью обратимо, пока напряжение не превысит предел текучести. Заметьте: 254 МПа уже близко к пределу текучести обычной стали, запас невелик.

Помимо продольной деформации, при растяжении образец сужается в поперечнике. Отношение поперечного сужения к продольному удлинению называют коэффициентом Пуассона; для большинства металлов он близок к 0,3. Это не мелочь: при расчёте сложных деталей поперечные деформации создают объёмное напряжённое состояние, и игнорировать их нельзя. Модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициент Пуассона связаны между собой, так что упругое поведение изотропного материала описывается всего двумя независимыми константами. Знание этих констант позволяет перейти от простого растяжения стержня к расчёту изгиба балки, кручения вала и давления в толстостенной трубе — то есть к реальной инженерной механике.

Частые ошибки

• Сравнивать материалы по силе, а не по напряжению — результат зависит от площади сечения.
• Считать, что термообработка меняет модуль Юнга — она почти не влияет на $E$, зато сильно меняет прочность.
• Применять закон Гука за пределом упругости, где зависимость уже нелинейна.

Итоги

• Напряжение $\sigma=F/A$, деформация $\varepsilon=\Delta L/L_0$.
• Закон Гука: $\sigma=E\varepsilon$ в упругой области.
• Модуль Юнга — жёсткость материала, отражает крутизну энергетической ямы связи.
• $E$ не зависит от термообработки, прочность — зависит.