math

Учебник Линейная алгебра наглядно для начинающих

22 урока · 8 разделов · бесплатно, без регистрации

Начать с первого урока

Линейная алгебра — это язык, на котором говорят компьютерная графика, машинное обучение, поисковые системы и физика. Но за сухими таблицами чисел скрываются простые геометрические образы: стрелки, которые складывают, растягивают и поворачивают пространство. Этот курс построен в духе наглядной подачи: каждое понятие сначала показывается как картинка и смысл, затем записывается формулой, а рядом стоит маленькая программа на чистом Python (только стандартная библиотека, без NumPy), которая считает то же самое своими руками — из списков и циклов.

Вы пройдёте путь от вектора-стрелки до собственных значений и идеи SVD: научитесь видеть матрицу как преобразование пространства, понимать определитель как коэффициент растяжения площади, решать системы уравнений методом Гаусса и находить главные направления данных. Курс самостоятельный и не дублирует «Математику для машинного обучения» и «Дискретную математику» — здесь линейная алгебра как отдельная наглядная дисциплина.

Курс «Линейная алгебра наглядно» состоит из 8 разделов и 22 уроков: Векторы: стрелки, которые можно складывать, Линейные комбинации и базис, Матрицы как преобразования пространства, Системы линейных уравнений и метод Гаусса, Определитель: площадь, объём и смысл, Обратная матрица и решение Ax = b, Собственные значения и векторы и Применения: графика, PageRank и разложения. Уроки идут по порядку — от основ к более сложным темам, в каждом есть объяснение с примерами, а в конце — вопросы для самопроверки. К урокам привязаны задачи с автоматической проверкой: прочитали тему — сразу закрепили её кодом.

Программа курса

  1. 1 Векторы: стрелки, которые можно складывать

    1. Что такое вектор и как его складывать

      Вектор как стрелка и как список координат. Сложение по правилу треугольника и покоординатно, умножение на число — с проверкой на Python.

    2. Длина вектора и скалярное произведение

      Длина вектора через теорему Пифагора и скалярное произведение: формула, свойства и расчёт на Python.

    3. Угол между векторами и проекция

      Косинус угла между векторами и ортогональная проекция: формулы и расчёт на Python без библиотек.

  2. 2 Линейные комбинации и базис

    1. Линейные комбинации и линейная оболочка

      Линейная комбинация векторов и понятие линейной оболочки (span): что можно построить из заданного набора стрелок.

    2. Линейная зависимость и независимость

      Линейная зависимость векторов: когда один лишний, как проверить независимость через определитель на Python.

    3. Базис и размерность

      Базис как минимальный набор векторов, покрывающий пространство, и размерность. Стандартный базис и смена базиса.

  3. 3 Матрицы как преобразования пространства

    1. Матрица как линейное преобразование

      Матрица превращает векторы в векторы линейно. Столбцы матрицы — образы базисных векторов. Расчёт умножения матрицы на вектор на Python.

    2. Поворот, масштаб и сдвиг

      Матрицы поворота, масштабирования и сдвига (shear): как выглядят и что делают с пространством. Расчёт на Python.

    3. Произведение матриц как композиция

      Умножение матриц = последовательное применение преобразований. Правило строка-на-столбец, некоммутативность — на Python.

  4. 4 Системы линейных уравнений и метод Гаусса

    1. Системы уравнений и их геометрия

      Система линейных уравнений как пересечение прямых и плоскостей. Матричная запись Ax=b и три типа решений.

    2. Метод Гаусса: реализация на Python

      Метод Гаусса с выбором главного элемента: прямой и обратный ход, реализация на чистом Python для решения Ax=b.

    3. Ранг матрицы и совместность системы

      Ранг матрицы как число независимых строк, теорема Кронекера-Капелли о совместности систем — наглядно и на Python.

  5. 5 Определитель: площадь, объём и смысл

    1. Определитель 2×2 как площадь

      Определитель 2x2 как ориентированная площадь параллелограмма: формула ad-bc, знак и геометрический смысл на Python.

    2. Свойства определителя и объём в 3D

      Свойства определителя, определитель 3x3 как объём параллелепипеда и правило для треугольных матриц — с расчётом на Python.

  6. 6 Обратная матрица и решение Ax = b

    1. Единичная и обратная матрица

      Единичная матрица как нейтральный элемент и обратная матрица как отмена преобразования. Формула обратной 2x2 на Python.

    2. Решение Ax = b через обратную матрицу

      Решение системы Ax=b умножением на обратную матрицу, сравнение с методом Гаусса и почему Гаусс предпочтительнее на практике.

  7. 7 Собственные значения и векторы

    1. Смысл собственных значений и векторов

      Собственный вектор как неповорачиваемое направление преобразования, собственное значение как коэффициент растяжения — наглядно и на Python.

    2. Характеристическое уравнение

      Характеристическое уравнение det(A - λI) = 0 для поиска собственных значений матрицы 2x2 — вывод и расчёт на Python.

    3. Степенной метод: находим главное направление

      Степенной метод (power iteration) для поиска доминирующего собственного значения и вектора — рабочая симуляция на чистом Python.

  8. 8 Применения: графика, PageRank и разложения

    1. Преобразования в компьютерной графике

      Как матрицы двигают вершины фигур: поворот и масштаб многоугольника, композиция преобразований — рабочий пример на Python.

    2. PageRank на пальцах

      PageRank как собственный вектор матрицы ссылок: суть алгоритма Google и его расчёт степенным методом на чистом Python.

    3. Идея SVD и смена системы координат

      Сингулярное разложение (SVD) как поворот-масштаб-поворот, идея сжатия данных и смена базиса как умножение на матрицу — наглядно.