Базис и размерность

Базис — это «оси координат» пространства: минимальный набор независимых векторов, через которые выражается всё остальное.

Базис пространства — это линейно независимый набор векторов, линейная оболочка которых есть всё пространство. Размерность — число векторов в базисе.

Базис объединяет две идеи прошлых уроков: векторы должны быть независимы (нет лишних) и должны покрывать всё (span = всё пространство). Это ровно тот минимальный «скелет», по которому каждый вектор раскладывается единственным образом.

Стандартный базис

Самый привычный базис плоскости — это $\vec{e}_1 = (1, 0)$ и $\vec{e}_2 = (0, 1)$. Любой вектор $(x, y)$ раскладывается тривиально:

$$(x, y) = x \cdot (1, 0) + y \cdot (0, 1)$$

Координаты в стандартном базисе совпадают с самими числами вектора — поэтому он и «стандартный». Но базисов бесконечно много: подойдёт любая пара независимых векторов.

Единственность разложения

Ключевое свойство базиса: разложение вектора по базису единственно. Если бы существовало два разных разложения одного вектора, их разность дала бы нетривиальную нулевую комбинацию базисных векторов — а это противоречит их независимости. Поэтому координаты в базисе определены однозначно.

def det2(M):
    return M[0][0] * M[1][1] - M[0][1] * M[1][0]

def is_basis_2d(v1, v2):
    M = [[v1[0], v2[0]],
         [v1[1], v2[1]]]   # векторы — столбцы
    return det2(M) != 0

print(is_basis_2d([1, 0], [0, 1]))   # стандартный базис
print(is_basis_2d([1, 1], [1, -1]))  # повёрнутый базис
print(is_basis_2d([1, 2], [2, 4]))   # зависимые — не базис

Вывод:

True
True
False

Размерность — это инвариант

Сколько бы базисов мы ни перебирали, число векторов в каждом из них одинаково и равно размерности пространства: для плоскости — всегда 2, для трёхмерного пространства — 3. Это не зависит от выбора конкретных векторов — отсюда осмысленность самого слова «размерность».

Как работает под капотом

Функция is_basis_2d опирается на критерий из прошлого урока: два вектора в 2D образуют базис тогда и только тогда, когда они независимы, то есть определитель составленной из них матрицы не равен нулю. В общем случае $n$ векторов образуют базис $n$-мерного пространства, если они независимы — то есть ранг матрицы из них равен $n$ (про ранг — в разделе про метод Гаусса). Базис — это «система координат», и переход между разными базисами осуществляется умножением на матрицу, что мы увидим в применениях.

Частые ошибки

Считать, что базис обязан быть стандартным или ортогональным. Базисом служит любой независимый набор нужного размера, даже «косой».
Брать в базис лишние векторы. Три вектора на плоскости — это уже не базис, а избыточный набор (один зависим).
Брать слишком мало векторов. Один вектор не покрывает плоскость — это не базис, а только подпространство.

Итог

Базис — независимый набор, покрывающий всё пространство (span = всё).
Размерность — число векторов в любом базисе; она не зависит от выбора базиса.
Разложение вектора по базису единственно.
Базисов бесконечно много; стандартный — лишь самый удобный частный случай.