Линейная зависимость и независимость

Набор векторов линейно зависим, если хотя бы один из них — лишний: его можно собрать из остальных.

Линейная независимость: векторы независимы, если единственный способ получить из них нулевой вектор — взять все коэффициенты нулевыми.

Линейная зависимость — это про избыточность. Если один вектор выражается через другие, он не добавляет «нового направления». Умение отличать независимые наборы от зависимых — фундамент для определения базиса и ранга матрицы.

Формальное определение

Векторы $\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_k$ линейно независимы, если равенство

$$c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + \dots + c_k \vec{v}_k = \vec{0}$$

выполняется только при $c_1 = c_2 = \dots = c_k = 0$. Если же существует нетривиальный набор коэффициентов (хотя бы один $c_i \neq 0$), дающий нуль, — векторы зависимы, и тогда какой-то из них выражается через остальные.

Проверка через определитель

Для $n$ векторов в $n$-мерном пространстве есть красивый критерий: составим из них квадратную матрицу (векторы — столбцы или строки) и посчитаем определитель. Если определитель ненулевой — векторы независимы; если ноль — зависимы. Геометрически: ненулевой определитель значит, что векторы «раскрывают» полный объём, а нулевой — что они «сплющены» в подпространство меньшей размерности.

def det2(M):
    return M[0][0] * M[1][1] - M[0][1] * M[1][0]

# столбцы — это проверяемые векторы
A = [[1, 2],
     [2, 4]]   # второй столбец = 2 x первый
B = [[1, 0],
     [1, 1]]   # непараллельные

print("det(A) =", det2(A), "->", "зависимы" if det2(A) == 0 else "независимы")
print("det(B) =", det2(B), "->", "зависимы" if det2(B) == 0 else "независимы")

Вывод:

det(A) = 0 -> зависимы
det(B) = 1 -> независимы

Почему det = 0 значит зависимость

В матрице $A$ второй столбец $(2, 4)$ ровно вдвое больше первого $(1, 2)$. То есть $2 \cdot \vec{v}_1 - 1 \cdot \vec{v}_2 = \vec{0}$ при ненулевых коэффициентах — это и есть линейная зависимость. Геометрически оба вектора лежат на одной прямой, площадь параллелограмма на них равна нулю, поэтому и определитель ноль.

Как работает под капотом

Определитель $2 \times 2$ — это $ad - bc$, и он равен (со знаком) площади параллелограмма, натянутого на столбцы. Когда векторы параллельны, параллелограмм вырождается в отрезок нулевой площади — определитель обнуляется. Этот же принцип работает в любой размерности: $n$ векторов независимы тогда и только тогда, когда $n \times n$-определитель из них отличен от нуля. Связь «зависимость ⇔ нулевой определитель ⇔ нулевой объём» — одна из самых полезных в курсе.

Частые ошибки

Считать, что три вектора на плоскости могут быть независимы. В двумерном пространстве максимум 2 независимых вектора — третий всегда лишний.
Брать определитель неквадратной матрицы. Критерий через определитель работает только когда число векторов равно размерности; иначе используют ранг.
Думать, что «зависимы» значит «равны». Зависимость — это выразимость одного через другие, а не равенство.

Итог

Векторы независимы, если ноль из них собирается только нулевыми коэффициентами.
Зависимость означает, что один вектор лишний — выражается через остальные.
Для $n$ векторов в $n$ измерениях: $\det \neq 0$ ⇔ независимы.
Нулевой определитель = нулевой объём = векторы «сплющены».