Единичная и обратная матрица

Обратная матрица отменяет действие исходной — как кнопка «назад» для преобразования пространства.

Обратная матрица $A^{-1}$ — это матрица, для которой $A^{-1} A = A A^{-1} = I$, где $I$ — единичная матрица.

Единичная матрица $I$ ничего не делает с векторами — это «единица» в мире матриц. Обратная же матрица возвращает пространство в исходное состояние: если $A$ повернуло и растянуло, то $A^{-1}$ растянет обратно и повернёт назад. Но не у каждого преобразования есть обратное.

Единичная матрица

$$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad I \vec{v} = \vec{v}$$

На главной диагонали единицы, остальное — нули. Умножение на $I$ оставляет любой вектор и любую матрицу без изменений: $AI = IA = A$. Это нейтральный элемент умножения матриц, аналог числа 1.

Обратная 2×2

Для матрицы $2 \times 2$ есть явная формула:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}, \quad A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

Деление на $\det A$ объясняет главное условие: обратная существует только если $\det A \neq 0$. Когда определитель ноль, преобразование схлопывает пространство, и «отменить» его невозможно — информация потеряна.

def det2(M):
    return M[0][0] * M[1][1] - M[0][1] * M[1][0]

def inv2(M):
    d = det2(M)
    if d == 0:
        raise ValueError("матрица вырождена, обратной нет")
    a, b = M[0]
    c, dd = M[1]
    return [[dd / d, -b / d], [-c / d, a / d]]

def matmul(A, B):
    return [[sum(A[i][t] * B[t][j] for t in range(len(B)))
             for j in range(len(B[0]))] for i in range(len(A))]

A = [[4, 7], [2, 6]]
Ai = inv2(A)
print("A^-1 =", [[round(x, 4) for x in r] for r in Ai])
print("A*A^-1 =", [[round(x, 4) for x in r] for r in matmul(A, Ai)])

Вывод:

A^-1 = [[0.6, -0.7], [-0.2, 0.4]]
A*A^-1 = [[1.0, 0.0], [-0.0, 1.0]]

Проверка обратной

Произведение $A \cdot A^{-1}$ дало единичную матрицу — значит обратная найдена верно. Маленький $-0{,}0$ вместо нуля — артефакт чисел с плавающей точкой; по сути там ноль.

Как работает под капотом

Формула для $2 \times 2$ меняет местами элементы диагонали, у внедиагональных ставит минус и делит всё на определитель. Для матриц большего размера используют метод Гаусса–Жордана: приписывают к $A$ единичную матрицу и приводят левую часть к $I$ — тогда справа окажется $A^{-1}$. Свойство $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ (порядок меняется!) отражает геометрию: чтобы отменить «сначала $B$, потом $A$», надо сначала отменить $A$, потом $B$ — как снимать обувь и носки в обратном порядке.

Частые ошибки

Искать обратную у вырожденной матрицы ($\det = 0$). Её не существует: деление на ноль в формуле — прямой сигнал.
Забывать менять порядок в $(AB)^{-1}$. Правильно $B^{-1}A^{-1}$, а не $A^{-1}B^{-1}$.
Путать обратную матрицу с поэлементным делением. $A^{-1}$ — не «единица, делённая на каждый элемент», а решение уравнения $A X = I$.

Итог

Единичная матрица $I$ — нейтральный элемент: $AI = IA = A$.
$A^{-1}$ отменяет $A$: $A^{-1}A = I$; существует только при $\det A \neq 0$.
Для $2 \times 2$ есть явная формула; для больших — метод Гаусса–Жордана.
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ — порядок отмены обратный порядку применения.