Характеристическое уравнение

Собственные значения находят, приравняв к нулю определитель $A - \lambda I$ — это и есть характеристическое уравнение.

Характеристическое уравнение матрицы $A$ — это $\det(A - \lambda I) = 0$; его корни — собственные значения.

В прошлом уроке мы угадывали собственные векторы для простых матриц. Теперь — общий метод. Перепишем $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$ так, чтобы получить условие на $\lambda$, не зная $\vec{v}$. Это приведёт к уравнению, которое можно решить.

Вывод уравнения

Перенесём всё в одну сторону: $A\vec{v} - \lambda\vec{v} = \vec{0}$, то есть $(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$. Это однородная система. Ненулевое решение $\vec{v}$ у неё есть тогда и только тогда, когда матрица $A - \lambda I$ вырождена, то есть её определитель равен нулю:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Для матрицы $2 \times 2$ это разворачивается в квадратное уравнение относительно $\lambda$:

$$\lambda^2 - (\text{tr}\,A)\,\lambda + \det A = 0$$

где $\text{tr}\,A = a + d$ — след (сумма диагонали). Корни этого квадратного уравнения и есть собственные значения.

import math

def eigvals_2x2(A):
    a, b = A[0]
    c, d = A[1]
    tr = a + d
    det = a * d - b * c
    disc = tr * tr - 4 * det
    if disc < 0:
        return "комплексные собственные значения"
    s = math.sqrt(disc)
    return [(tr + s) / 2, (tr - s) / 2]

print("diag(2,3):", eigvals_2x2([[2, 0], [0, 3]]))
print("симметричная:", eigvals_2x2([[2, 1], [1, 2]]))
print("поворот 90:", eigvals_2x2([[0, -1], [1, 0]]))

Вывод:

diag(2,3): [3.0, 2.0]
симметричная: [3.0, 1.0]
поворот 90: комплексные собственные значения

Читаем результаты

Для $\text{diag}(2, 3)$ собственные значения $3$ и $2$ — ровно числа с диагонали, как и ожидалось. Для симметричной $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ получили $3$ и $1$. А поворот на $90°$ дал отрицательный дискриминант — вещественных собственных значений нет, они комплексные: это численное подтверждение того, что поворот не имеет неподвижных направлений.

Как работает под капотом

След $\text{tr}\,A$ и определитель $\det A$ — это коэффициенты характеристического многочлена; они инвариантны, то есть не зависят от выбора базиса. Отсюда полезные факты: сумма собственных значений равна следу, а их произведение — определителю. Дискриминант квадратного уравнения управляет природой корней: положительный — два вещественных собственных значения, ноль — одно (кратное), отрицательный — пара комплексно-сопряжённых (как у поворотов). Для матриц больше $2 \times 2$ характеристический многочлен имеет степень $n$, и аналитически его корни искать тяжело — поэтому переходят к численным методам, о которых в следующем уроке.

Частые ошибки

• Забывать вычесть $\lambda$ только с диагонали. $A - \lambda I$ вычитает $\lambda$ из диагональных элементов, а не из всех.
• Игнорировать комплексные корни. Отрицательный дискриминант — не ошибка, а сигнал о повороте/комплексных собственных значениях.
• Путать след и определитель в формуле. В квадратном уравнении след идёт со знаком минус перед $\lambda$, определитель — свободный член.

Итог

• Собственные значения — корни характеристического уравнения $\det(A - \lambda I) = 0$.
• Для $2 \times 2$: $\lambda^2 - (\text{tr}\,A)\lambda + \det A = 0$.
• Сумма собственных значений = след, произведение = определитель.
• Знак дискриминанта различает вещественные и комплексные собственные значения.