Последовательное и параллельное соединение

Урок показывает, как складывать сопротивления при двух базовых способах соединения.

Эквивалентное сопротивление — это сопротивление одного резистора, которым можно заменить группу резисторов без изменения тока в остальной цепи.

Любую сложную сеть резисторов часто можно свернуть в одно число, последовательно применяя два правила.

Последовательное соединение

Резисторы стоят цепочкой, через них течёт один и тот же ток. Напряжения складываются, а сопротивления просто суммируются:

$$ R_{\text{посл}} = R_1 + R_2 + \dots + R_n. $$

Общее сопротивление всегда больше каждого из слагаемых.

Параллельное соединение

Резисторы подключены к одной паре узлов, на них одинаковое напряжение, а токи складываются. Складываются обратные величины (проводимости):

$$ \frac{1}{R_{\text{пар}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}. $$

Для двух резисторов удобна формула $R_{\text{пар}} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$. Параллельное сопротивление всегда меньше наименьшего из резисторов.

Расчёт обоих случаев

def series(rs):
    return sum(rs)

def parallel(rs):
    return 1.0 / sum(1.0 / r for r in rs)

R = [100.0, 200.0, 300.0]
print(f"Последовательно: {series(R):.2f} Ом")
print(f"Параллельно:     {parallel(R):.2f} Ом")

# Два резистора параллельно
r1, r2 = 60.0, 40.0
print(f"60||40 = {r1*r2/(r1+r2):.2f} Ом")

Вывод:

Последовательно: 600.00 Ом
Параллельно:     54.55 Ом
60||40 = 24.00 Ом

Как работает под капотом

Почему при параллельном соединении сопротивление падает? Каждый новый параллельный резистор — это дополнительный «канал» для тока. Чем больше каналов, тем легче зарядам пройти, тем меньше общее сопротивление, как у реки с несколькими руслами. При последовательном соединении, наоборот, заряды вынуждены пройти все препятствия подряд, и сопротивления накапливаются. Эти два правила — основа метода «сворачивания» цепи: вы поэтапно заменяете группы резисторов одним, пока не останется единственное эквивалентное сопротивление.

Частые ошибки

Складывают сопротивления при параллельном соединении напрямую. Складывать нужно обратные величины.
Забывают взять обратное значение в конце: $1/R_{\text{пар}}$ — это ещё не $R_{\text{пар}}$.
Применяют правила к схемам, где соединение не является чисто последовательным или параллельным (мост) — там нужны законы Кирхгофа.

Итог

Последовательно: $R = R_1 + R_2 + \dots$, ток общий.
Параллельно: $1/R = 1/R_1 + 1/R_2 + \dots$, напряжение общее.
Параллельное сопротивление меньше наименьшего резистора.
Сложные сети сворачивают поэтапно.