Законы Кирхгофа

Урок вводит два закона Кирхгофа — универсальный инструмент анализа любой цепи.

Законы Кирхгофа — это правила сохранения заряда (для узлов) и энергии (для контуров), позволяющие составить уравнения для любой электрической цепи.

Когда схему нельзя свести к последовательно-параллельным комбинациям, на помощь приходят законы Кирхгофа. Это фундамент всего расчёта цепей.

Первый закон (правило узлов)

В любом узле сумма втекающих токов равна сумме вытекающих:

$$ \sum I_{\text{вт}} = \sum I_{\text{выт}}, \qquad \text{или} \qquad \sum_k I_k = 0. $$

Это прямое следствие сохранения заряда: заряд не накапливается в узле. Если в узел втекает 5 А по двум проводам, то ровно 5 А должно вытечь.

Второй закон (правило контуров)

В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС равна сумме падений напряжения на сопротивлениях:

$$ \sum_k \mathcal{E}_k = \sum_k I_k R_k. $$

Это закон сохранения энергии: обойдя контур и вернувшись в исходную точку, мы возвращаемся к тому же потенциалу, поэтому сумма всех изменений напряжения равна нулю.

Правила знаков

Выбираем направление обхода контура. ЭДС берём со знаком «+», если внутри источника обход идёт от «−» к «+». Падение $IR$ берём со знаком «+», если направление обхода совпадает с выбранным направлением тока.

Проверка первого закона

I_in = [5.0, 3.0]    # втекающие токи, А
I_out = [4.0, 4.0]   # вытекающие токи, А

balance = sum(I_in) - sum(I_out)
print(f"Сумма втекающих = {sum(I_in)} А")
print(f"Сумма вытекающих = {sum(I_out)} А")
print(f"Баланс узла = {balance} А (должен быть 0)")

Вывод:

Сумма втекающих = 8.0 А
Сумма вытекающих = 8.0 А
Баланс узла = 0.0 А (должен быть 0)

Как работает под капотом

Алгоритм расчёта любой цепи такой: пронумеровать ветви, задать произвольные направления токов, для $N$ узлов записать $N-1$ независимых уравнений по первому закону, а недостающие — по второму закону для независимых контуров. Получается система линейных уравнений, число которых равно числу неизвестных токов. Если в ответе ток вышел отрицательным — значит, реальное направление противоположно выбранному; модуль при этом верен. Этот метод не требует «угадывать» структуру цепи и работает даже для мостовых схем, где правила последовательно-параллельного соединения бессильны.

Частые ошибки

• Путают знаки при обходе контура. Договоритесь о направлении обхода и тока заранее и придерживайтесь его.
• Составляют слишком много уравнений по узлам: для $N$ узлов независимых уравнений ровно $N-1$.
• Пугаются отрицательного тока в ответе. Это нормально — направление просто противоположно выбранному.

Итог

• Первый закон: $\sum I_k = 0$ в узле (сохранение заряда).
• Второй закон: $\sum \mathcal{E}_k = \sum I_k R_k$ в контуре (сохранение энергии).
• Для $N$ узлов — $N-1$ независимых уравнений узлов.
• Отрицательный ток означает обратное направление.