Передача максимальной мощности в нагрузку

Урок выводит знаменитое условие согласования: нагрузка получает максимум мощности, когда её сопротивление равно внутреннему.

Согласование нагрузки — выбор сопротивления нагрузки, при котором она получает наибольшую возможную мощность от источника.

Странный на первый взгляд факт: чтобы выжать из источника максимум мощности, нельзя ни слишком уменьшать, ни слишком увеличивать нагрузку. Есть оптимум.

Мощность в нагрузке

Мощность в нагрузке $R$ при источнике с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$:

$$ P(R) = I^2 R = \left(\frac{\mathcal{E}}{R + r}\right)^2 R. $$

Исследуя эту функцию на максимум (приравняв производную нулю), получаем условие согласования:

$$ R = r, \qquad P_{\max} = \frac{\mathcal{E}^2}{4 r}. $$

При этом КПД составляет ровно 50% — половина мощности теряется внутри источника. Поэтому в энергетике гонятся за высоким КПД ($R \gg r$), а в радиотехнике, где важна сама мощность сигнала, — за согласованием.

Численный поиск максимума

E = 10.0
r = 2.0

best_R, best_P = None, -1.0
R = 0.1
while R <= 6.0:
    I = E / (R + r)
    P = I*I*R
    if P > best_P:
        best_P, best_R = P, R
    R += 0.1

P_theory = E*E / (4*r)
print(f"Оптимум по перебору: R = {best_R:.1f} Ом, P = {best_P:.4f} Вт")
print(f"Теория: R = r = {r} Ом, Pmax = {P_theory:.4f} Вт")

Вывод:

Оптимум по перебору: R = 2.0 Ом, P = 12.5000 Вт
Теория: R = r = 2.0 Ом, Pmax = 12.5000 Вт

Как работает под капотом

Логику можно почувствовать на крайних случаях. Если $R \to 0$ (короткое замыкание), ток огромен, но почти всё напряжение падает внутри источника, и мощность в нагрузке стремится к нулю. Если $R \to \infty$ (обрыв), напряжение максимально, но ток нулевой — мощность снова стремится к нулю. Между этими крайностями обязан существовать максимум, и точный анализ показывает, что он достигается ровно при $R = r$. Этот результат — основа согласования антенн, динамиков и линий передачи: рассогласование приводит к отражениям и потере мощности сигнала.

Частые ошибки

• Думают, что чем меньше нагрузка, тем больше мощность. На самом деле при $R \lt r$ мощность снова падает.
• Путают максимум мощности с максимумом КПД. При согласовании КПД всего 50%.
• Применяют согласование там, где важнее экономия энергии (силовая электроника), а не передача максимальной мощности.

Итог

• Мощность нагрузки максимальна при $R = r$.
• $P_{\max} = \mathcal{E}^2/(4r)$.
• При согласовании КПД равен 50%.
• Согласование важно в радиотехнике, высокий КПД — в энергетике.