Внутреннее сопротивление и КПД источника

Урок объясняет, почему напряжение на батарейке падает под нагрузкой, и вводит КПД источника.

Внутреннее сопротивление $r$ — это собственное сопротивление источника, на котором теряется часть его ЭДС при протекании тока.

Идеальных источников не бывает: у каждой батарейки есть внутреннее сопротивление, из-за которого «честно» отдать всю ЭДС в нагрузку не получается.

Закон Ома для полной цепи

Если к источнику с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ подключить нагрузку $R$, ток равен

$$ I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}. $$

Напряжение на клеммах (на нагрузке) меньше ЭДС на величину падения внутри источника:

$$ U = \mathcal{E} - I r = I R. $$

КПД источника

Полезная мощность выделяется в нагрузке, а на внутреннем сопротивлении мощность теряется впустую. КПД:

$$ \eta = \frac{P_{\text{нагр}}}{P_{\text{полн}}} = \frac{R}{R + r}. $$

Чем меньше $r$ по сравнению с $R$, тем выше КПД.

Расчёт цепи с внутренним сопротивлением

E = 1.5    # ЭДС, В
r = 0.5    # внутреннее сопротивление, Ом
R = 4.0    # нагрузка, Ом

I = E / (R + r)
U = I * R
eta = R / (R + r)
print(f"Ток I = {I:.4f} А")
print(f"Напряжение на клеммах U = {U:.4f} В")
print(f"КПД = {eta*100:.1f} %")

Вывод:

Ток I = 0.3333 А
Напряжение на клеммах U = 1.3333 В
КПД = 88.9 %

Как работает под капотом

Внутреннее сопротивление — это не «дефект», а физическая реальность: электролит батарейки, обмотка генератора, контакты — всё имеет сопротивление. При коротком замыкании ($R \to 0$) ток ограничивается именно $r$ и достигает $I = \mathcal{E}/r$ — для пальчиковой батарейки это единицы ампер, а для автомобильного аккумулятора с очень малым $r$ — сотни ампер, что и позволяет крутить стартер. По мере разряда батарейки её внутреннее сопротивление растёт, напряжение под нагрузкой проседает сильнее — так мы и чувствуем, что «батарейка села».

Частые ошибки

• Считают, что напряжение на клеммах всегда равно ЭДС. Под нагрузкой оно меньше на $Ir$.
• Путают КПД источника с КПД устройства; здесь речь о доле мощности, дошедшей до нагрузки.
• Игнорируют $r$ при расчёте тока короткого замыкания, получая «бесконечный» ток.

Итог

• Ток полной цепи: $I = \mathcal{E}/(R + r)$.
• Напряжение на клеммах: $U = \mathcal{E} - Ir$.
• КПД источника: $\eta = R/(R+r)$.
• Малое $r$ — высокий КПД и большой ток КЗ.