Баланс мощностей и нагрев

Урок показывает, что мощность источника точно равна сумме мощностей всех потребителей.

Баланс мощностей — закон сохранения энергии для цепи: суммарная мощность источников равна суммарной мощности, рассеиваемой на всех сопротивлениях.

Баланс мощностей — мощный способ проверить расчёт цепи: если энергия «не сходится», где-то ошибка.

Уравнение баланса

$$ \sum_k \mathcal{E}_k I_k = \sum_j I_j^2 R_j. $$

Слева — мощность, отданная источниками, справа — мощность, превращённая в тепло на резисторах (включая внутреннее сопротивление). Эти суммы обязаны совпадать.

Нагрев проводника

Тепло, выделяемое за время $t$, даёт закон Джоуля—Ленца:

$$ Q = I^2 R t. $$

Это тепло идёт на нагрев тела. Если масса $m$ и удельная теплоёмкость $c$, повышение температуры $\Delta T = Q/(c m)$ (без учёта теплоотдачи в среду).

Проверка баланса в Python

E = 12.0
r = 0.5      # внутреннее сопротивление
R = 5.5      # нагрузка
I = E / (R + r)

P_source = E * I          # мощность источника
P_load = I**2 * R         # на нагрузке
P_internal = I**2 * r     # потери внутри
print(f"Ток I = {I:.3f} А")
print(f"Мощность источника = {P_source:.3f} Вт")
print(f"На нагрузке = {P_load:.3f} Вт")
print(f"Внутри = {P_internal:.3f} Вт")
print(f"Баланс: {P_load + P_internal:.3f} Вт")

Вывод:

Ток I = 2.000 А
Мощность источника = 24.000 Вт
На нагрузке = 22.000 Вт
Внутри = 2.000 Вт
Баланс: 24.000 Вт

Как работает под капотом

Баланс мощностей — это переформулировка второго закона Кирхгофа, умноженного на токи. Когда вы умножаете контурное уравнение $\sum \mathcal{E} = \sum IR$ на ток ветви, слева получается мощность источника, справа — мощность нагрева. Поэтому если вы решили цепь правильно, баланс сойдётся автоматически — это бесплатная проверка. На практике инженеры считают тепловой бюджет устройства именно так: суммируют $I^2R$ по всем элементам, чтобы понять, сколько тепла нужно отвести радиатором, и не перегреется ли плата.

Частые ошибки

• Забывают учесть потери на внутреннем сопротивлении источника — тогда баланс «не сходится».
• Путают тепло $Q$ (джоули) и мощность $P$ (ватты): $Q = Pt$.
• Считают нагрев бесконечным, игнорируя теплоотдачу в окружающую среду в реальных условиях.

Итог

• Баланс: $\sum \mathcal{E}_k I_k = \sum I_j^2 R_j$.
• Закон Джоуля—Ленца: $Q = I^2 R t$.
• Нагрев: $\Delta T = Q/(cm)$ без теплоотдачи.
• Баланс мощностей — проверка правильности расчёта.