Комплексный импеданс

Урок вводит импеданс — комплексное сопротивление, объединяющее активную и реактивную части.

Импеданс $Z$ — комплексное сопротивление элемента или цепи переменному току, учитывающее одновременно величину и фазовый сдвиг.

Складывать $R$, $X_L$ и $X_C$ напрямую нельзя — они сдвинуты по фазе. Комплексные числа решают эту проблему элегантно: один объект $Z$ хранит и амплитуду, и фазу.

Импеданс элементов

В комплексной форме (где $j$ — мнимая единица, $j^2 = -1$):

$$ Z_R = R, \qquad Z_L = j\omega L, \qquad Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -\frac{j}{\omega C}. $$

Резистор даёт чисто действительный импеданс, катушка — положительный мнимый, конденсатор — отрицательный мнимый. Импедансы складываются как обычные сопротивления: последовательно — суммируются, параллельно — обратные.

Модуль и фаза

Закон Ома в комплексной форме: $\dot U = \dot I \, Z$. Модуль импеданса даёт отношение амплитуд, а аргумент — сдвиг фаз между напряжением и током:

$$ |Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}, \qquad \varphi = \arctan\frac{X_L - X_C}{R}. $$

Расчёт импеданса на cmath

import cmath, math

R = 50.0
L = 0.1
C = 10e-6
f = 159.0
omega = 2*math.pi*f

Z = R + 1j*omega*L + 1/(1j*omega*C)   # последовательный RLC
mag = abs(Z)
phase = cmath.phase(Z)
print(f"Z = {Z.real:.2f} + ({Z.imag:.2f})j Ом")
print(f"|Z| = {mag:.2f} Ом")
print(f"Фаза = {math.degrees(phase):.2f} град")

Вывод:

Z = 50.00 + (-0.19)j Ом
|Z| = 50.00 Ом
Фаза = -0.22 град

Как работает под капотом

Идея комплексного метода: представить синусоиду $U_m\sin(\omega t + \varphi)$ как вращающийся вектор (фазор) на комплексной плоскости. Длина вектора — амплитуда, угол — фаза. Тогда производная по времени превращается в умножение на $j\omega$, и дифференциальные уравнения цепи становятся обычными алгебраическими — с комплексными числами. Умножение на $j$ — это поворот на 90°, что в точности соответствует тому, что ток в катушке отстаёт, а в конденсаторе опережает напряжение на четверть периода. Python со встроенным модулем cmath работает с комплексными числами «из коробки», поэтому расчёт цепи переменного тока выглядит почти так же просто, как для постоянного.

Частые ошибки

Складывают модули $|Z_1| + |Z_2|$ вместо самих комплексных чисел. Складывать нужно $Z_1 + Z_2$.
Путают знак мнимой части у конденсатора: у него импеданс отрицательно-мнимый.
Берут фазу в радианах, забыв перевести в градусы при выводе.

Итог

$Z_R = R$, $Z_L = j\omega L$, $Z_C = -j/(\omega C)$.
Закон Ома: $\dot U = \dot I \, Z$.
$|Z|$ — отношение амплитуд, $\arg Z$ — сдвиг фаз.
cmath делает расчёт цепей переменного тока простым.