Последовательный RLC-контур

Урок разбирает классический последовательный RLC-контур и считает токи и напряжения комплексным методом.

Последовательный RLC-контур — цепь из резистора, катушки и конденсатора, соединённых последовательно; через все элементы течёт один и тот же ток.

RLC-контур — фундамент радиотехники и теории фильтров. Освоив его расчёт, вы сможете анализировать любые линейные цепи переменного тока.

Полный импеданс

Поскольку элементы последовательны, импедансы складываются:

$$ Z = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right). $$

Реактивная часть — это разность индуктивного и ёмкостного сопротивлений. Ток находим по закону Ома: $\dot I = \dot U / Z$. Напряжения на отдельных элементах: $\dot U_R = \dot I R$, $\dot U_L = \dot I \cdot j\omega L$, $\dot U_C = \dot I / (j\omega C)$.

Интересный эффект

На реактивных элементах напряжение может превышать напряжение источника! Энергия «раскачивается» между катушкой и конденсатором, и в резонансе $U_L$ и $U_C$ бывают в десятки раз больше входного. Это не нарушение законов — просто $U_L$ и $U_C$ противофазны и взаимно вычитаются в сумме.

Расчёт контура

import cmath, math

U = 10.0 + 0j     # амплитуда источника, В
R = 10.0
L = 0.05
C = 2e-6
f = 500.0
w = 2*math.pi*f

Z = R + 1j*(w*L - 1/(w*C))
I = U / Z
UR = I * R
UL = I * 1j*w*L
UC = I / (1j*w*C)

print(f"|Z| = {abs(Z):.2f} Ом")
print(f"|I| = {abs(I):.4f} А")
print(f"|UR|={abs(UR):.2f} В  |UL|={abs(UL):.2f} В  |UC|={abs(UC):.2f} В")

Вывод:

|Z| = 10.21 Ом
|I| = 0.9791 А
|UR|=9.79 В  |UL|=153.80 В  |UC|=155.83 В

Как работает под капотом

Обратите внимание на вывод: напряжения на катушке и конденсаторе (около 154 В) во много раз больше напряжения источника (10 В)! Это не парадокс. Векторы $\dot U_L$ и $\dot U_C$ направлены противоположно (одно опережает ток на 90°, другое отстаёт на 90°), поэтому в векторной сумме они почти гасят друг друга, и остаётся лишь то, что компенсирует источник. Чем ближе к резонансу, тем сильнее раскачка. Этот эффект используют для усиления слабых радиосигналов нужной частоты, но он же может пробить изоляцию, если контур случайно попадёт в резонанс. Комплексный метод позволяет всё это точно посчитать одной строкой.

Частые ошибки

• Складывают $U_R$, $U_L$, $U_C$ арифметически. Их нужно складывать как векторы (комплексные числа).
• Удивляются, что $U_L \gt U$ — это нормально для реактивных элементов.
• Берут реактивное сопротивление как $\omega L + 1/(\omega C)$ вместо разности.

Итог

• $Z = R + j(\omega L - 1/(\omega C))$.
• Ток общий: $\dot I = \dot U / Z$.
• Напряжения на элементах складываются векторно.
• В контуре $U_L$ и $U_C$ могут превышать напряжение источника.