Резонанс и добротность

Урок объясняет резонанс в RLC-контуре и вводит добротность как меру его «остроты».

Резонанс — режим, при котором индуктивное и ёмкостное сопротивления равны, реактивная часть импеданса обращается в нуль, и ток в контуре максимален.

Резонанс — то, что позволяет радиоприёмнику выделить одну станцию из тысяч. Это одно из самых красивых явлений в электротехнике.

Резонансная частота

Резонанс наступает, когда $X_L = X_C$, то есть $\omega L = 1/(\omega C)$. Отсюда резонансная частота:

$$ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}. $$

На этой частоте импеданс последовательного контура минимален и равен чисто активному $R$, а ток достигает максимума $I = U/R$.

Добротность

Добротность $Q$ характеризует «остроту» резонанса и во сколько раз напряжение на реактивных элементах превышает входное:

$$ Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}. $$

Полоса пропускания (ширина резонансного пика по уровню $1/\sqrt2$) связана с добротностью: $\Delta f = f_0 / Q$. Высокая добротность — узкий, острый пик и хорошая избирательность.

Расчёт резонанса

import math

R = 10.0
L = 0.05
C = 2e-6

w0 = 1 / math.sqrt(L*C)
f0 = w0 / (2*math.pi)
Q = w0 * L / R
bandwidth = f0 / Q
print(f"Резонансная частота f0 = {f0:.1f} Гц")
print(f"Добротность Q = {Q:.2f}")
print(f"Полоса пропускания = {bandwidth:.1f} Гц")

Вывод:

Резонансная частота f0 = 503.3 Гц
Добротность Q = 15.81
Полоса пропускания = 31.8 Гц

Как работает под капотом

В резонансе энергия непрерывно перетекает из конденсатора в катушку и обратно: электрическое поле превращается в магнитное и наоборот, точно как в маятнике потенциальная энергия переходит в кинетическую. Резистор лишь понемногу «съедает» энергию на нагрев, а источник её восполняет. Добротность $Q$ численно равна отношению запасённой в контуре энергии к энергии, теряемой за один радиан колебания, умноженному на $2\pi$ за период. Чем меньше потери (меньше $R$), тем выше $Q$, тем дольше «звенит» контур и тем уже полоса. Именно поэтому в радиоприёмниках стремятся к высокой добротности — чтобы отделить близкие по частоте станции.

Частые ошибки

Считают, что в резонансе импеданс максимален. Для последовательного контура он минимален (равен $R$).
Путают формулу резонанса: внутри корня стоит произведение $LC$, а не сумма.
Думают, что добротность зависит только от $R$. Она зависит и от соотношения $L$ и $C$.

Итог

$\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$, $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$.
В резонансе реактивность нулевая, ток максимален.
$Q = \omega_0 L/R$, полоса $\Delta f = f_0/Q$.
Высокая добротность — острый пик и хорошая избирательность.