Задание 18: задачи с параметром

Задание 18 — самое «олимпиадное» в экзамене. Параметр превращает уравнение в семейство задач: при разных значениях буквы ответ разный. Цена — 4 балла, но даже частичное решение засчитывается, поэтому браться стоит.

Главная идея: параметр a — это не неизвестное, которое ищут, а «настройка» задачи. Нужно для каждого значения a описать множество решений. Два рабочих метода: разбор случаев и графический.

Аналитический метод: разбор случаев

Если в уравнении a x = b делить на a нельзя «вслепую»: при a != 0 корень x = b/a, а при a = 0 уравнение либо не имеет решений, либо имеет их бесконечно много. Грамотный разбор всех случаев — половина баллов задания.

Графический метод: уравнение f(x) = a
  y
  |        ___
  |   ___ /   \___      y=a (двигаем прямую вверх)
  |--/-----------\----  a3: 0 точек
  | /             \     a2: 2 точки
  |/               \    a1: 1 точка (касание)
  +-------------------- x
  число корней = число пересечений с y=a

Графический метод

Часто параметр удобно «вынести» в горизонтальную прямую y = a и смотреть, сколько раз она пересекает график y = f(x). Двигая прямую вверх-вниз, мы наглядно видим, при каких a корней нет, один или несколько.

Разбор задачи (тип 18, упрощённый)

При каких a уравнение x^2 = a имеет ровно два корня?

1. Графически: y = x^2 — парабола, y = a — горизонтальная прямая.
2. При a < 0 прямая ниже параболы — пересечений нет.
3. При a = 0 касание в вершине — один корень.
4. При a > 0 прямая пересекает параболу в двух точках — два корня.

Ответ: a > 0. Графическая картинка сразу показывает все три режима, которые в аналитике пришлось бы разбирать через дискриминант.

Типичные ошибки

• Делить на параметр, не рассмотрев случай, когда он равен нулю.
• Потерять граничные значения a (точки касания), где число корней меняется.
• Не записать частичное решение — а ведь за разбор случаев дают баллы.

Лайфхак: всегда проверяйте границу

Число решений меняется именно на границах (касание, обнуление коэффициента). Найдя «подозрительные» значения a, проверяйте их отдельно — там обычно и спрятан правильный ответ.

import math
# Сколько корней у x^2 = a при разных a (через дискриминант x^2 - a = 0)
for a in [-2, 0, 3, 9]:
    D = 4 * a            # для x^2 - a: D = 0 - 4*1*(-a) = 4a
    if D < 0:
        n = 0
    elif D == 0:
        n = 1
    else:
        n = 2
    print(f'a={a}: число корней = {n}')

Перебор подтверждает: два корня появляются строго при a > 0. Финальный урок — задания на числа и их свойства.

Углубление: параметр в системе

Иногда параметр стоит в системе уравнений или неравенств. Тогда удобна интерпретация «прямая и кривая»: одно уравнение задаёт фиксированную кривую, другое — семейство прямых, зависящее от параметра. Число и расположение точек пересечения как функция параметра и даёт ответ. Графический язык превращает алгебраический перебор в наглядную картинку.

Разбор второй задачи

При каких a уравнение |x| = a имеет ровно один корень?

1. График y = |x| — «галочка» с вершиной в начале координат; y = a — горизонтальная прямая.
2. При a < 0 прямая ниже «галочки» — корней нет.
3. При a = 0 прямая проходит через вершину — ровно один корень x = 0.
4. При a > 0 прямая пересекает обе ветви — два корня.

Ответ: a = 0. Единственный корень возможен только в особой точке — вершине графика. Именно граничные и особые значения параметра почти всегда дают «переломные» ответы, поэтому проверять их нужно отдельно и в первую очередь.

Даже если полное решение задания 18 не выходит, грамотный разбор случаев a < 0, a = 0, a > 0 с пояснениями приносит частичные баллы — записывайте его обязательно.

Быстрый пример на закрепление

При каких a уравнение x^2 + 2x + a = 0 имеет два различных корня? Через дискриминант: D = 4 - 4a > 0, то есть 4a < 4, откуда a < 1. Условие на число корней почти всегда переводится в условие на знак дискриминанта.

Граница a = 1 особая: там D = 0 и корень один (кратный). Именно граничные значения параметра разделяют разные режимы числа корней, поэтому их находят и проверяют в первую очередь. Аналитический путь через дискриминант и графический через прямую y = a приводят к одному ответу — это взаимная проверка.

• Параметр — «настройка» задачи: для каждого его значения описываем решения.
• Число корней квадратного уравнения переводится в знак дискриминанта.
• Особое внимание — граничным значениям параметра (там D = 0, касание).

Где это пригодится

Задача с параметром (задание 18) собирает воедино почти весь курс: квадратные уравнения и дискриминант, метод интервалов, графики функций и исследование числа корней. Это вершина сложности, но именно поэтому она проверяет зрелость всех ваших навыков. Даже частичный разбор случаев приносит баллы, так что браться за неё стоит обязательно.