Задание 10: текстовые задачи на движение и работу

Текстовая задача пугает не математикой, а переводом слов в уравнение. Освоив три классических сюжета — движение, работа, проценты — вы перестанете «тонуть» в условии и начнёте видеть готовую схему.

Три кита текстовых задач: движение S = v * t; работа A = p * t (объём = производительность * время); проценты p% от a = a * p / 100.

Задачи на движение

Основная формула S = v t. При движении навстречу скорости складываются, вдогонку — вычитаются. По реке: скорость по течению = v + u, против течения = v - u, где u — скорость течения.

Движение по реке
  по течению:   v_лодки + u_реки  --->
  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
  против:       v_лодки - u_реки  <---

  Работа: производительности складываются
  1/t1 + 1/t2 = 1/t_совместное

Задачи на работу

Здесь удобно принять всю работу за 1. Тогда производительность — это 1/t, где t — время в одиночку. При совместной работе производительности складываются, а время находим как обратную величину суммы.

Разбор задачи (тип 10)

Первая труба наполняет бассейн за 3 часа, вторая — за 6 часов. За сколько часов наполнят вместе?

1. Производительность первой: 1/3 бассейна в час; второй: 1/6.
2. Совместная: 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 бассейна в час.
3. Время на весь бассейн: 1 / (1/2) = 2 часа.

Ответ 2. Приём «вся работа = 1» превращает запутанную задачу в сложение дробей.

Типичные ошибки

• Складывать времена вместо производительностей («3 + 6 = 9 часов» — грубая ошибка).
• Путать скорость по течению и против течения.
• Не перевести единицы (минуты и часы) к одному виду.

Лайфхак: таблица условий

Заведите табличку из столбцов S, v, t (или A, p, t) и заполните известное. Пустая клетка — это и есть уравнение, которое нужно составить.

from fractions import Fraction
# Две трубы: 3 ч и 6 ч, время совместного наполнения
p1 = Fraction(1, 3)
p2 = Fraction(1, 6)
together = 1 / (p1 + p2)
print('Совместная производительность:', p1 + p2, 'бассейна/час')
print('Время вместе:', together, 'часа')

Дроби дают ровно 2 часа. Дальше — финансовая математика: вклады, кредиты и оптимизация в задании 16.

Углубление: задачи на проценты и концентрацию

В задачах на сплавы и растворы удобно следить за количеством «чистого» вещества, а не за процентами. Если в 200 г раствора 15% соли, то соли 200 * 0.15 = 30 г. При смешивании складываются массы и массы вещества по отдельности, а новая концентрация — это отношение «вещество / весь раствор». Такой подход избавляет от путаницы с процентами.

Разбор второй задачи

Из пункта A в пункт B вышел велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через час за ним выехал второй со скоростью 16 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?

1. За первый час первый велосипедист уехал на 12 км — это фора.
2. Скорость сближения: 16 - 12 = 4 км/ч.
3. Время на закрытие форы: 12 / 4 = 3 часа.

В задачах на догонку ключ — скорость сближения (разность скоростей). Расстояние-фора, делённое на скорость сближения, и есть искомое время. Этот приём работает для любых задач «вдогонку».

Совет: всегда переводите все величины к одним единицам (часы и километры, либо минуты и метры) до начала вычислений — рассогласование единиц даёт самые обидные ошибки.

Быстрый пример на закрепление

Турист прошёл 20 км за 5 часов. Какова его средняя скорость? По формуле v = S / t = 20 / 5 = 4 км/ч. Базовая тройка «путь — скорость — время» закрывает любую задачу на движение, если правильно определить, что из трёх величин известно.

А вот процентный пример: цена выросла на 20%, а затем снизилась на 20%. Стала ли она прежней? Нет: 100 * 1.2 * 0.8 = 96 — итог на 4% ниже исходного. Проценты считаются от текущей величины, а не от начальной, поэтому «плюс 20% и минус 20%» не компенсируются.

• Движение: S = v t; навстречу — скорости складываются, вдогонку — вычитаются.
• Работа: принимаем всю работу за 1, производительности складываются.
• Проценты считаются от текущей величины; рост и спад на равный процент не компенсируются.

Где это пригодится

Текстовые задачи — это задание 10, но умение переводить слова в уравнение пригодится и в экономическом задании 16, где условие тоже описано словами. Привычка заводить табличку величин и принимать всю работу за единицу делает оба типа задач предсказуемыми и снимает главный страх — страх перед длинным условием.