Задание 16: экономическая (финансовая) задача

Задание 16 — про деньги: вклады, кредиты, проценты. Оно кажется громоздким, но строится на одной идее: каждый период сумма умножается на коэффициент роста. Научитесь видеть этот коэффициент — и задача распадётся на арифметику.

Коэффициент роста: прибавить p% — значит умножить на (1 + p/100). За n периодов под сложный процент: сумма = S * (1 + p/100)^n.

Сложные проценты

Если процент начисляется на уже выросшую сумму, рост идёт по геометрической прогрессии. Под ставку p% за n лет вклад S превращается в S (1 + p/100)^n. Это база и для вкладов, и для кредитов.

Сложный процент: вклад 100, ставка 10%
  год 0:  100
  год 1:  100*1.1 = 110
  год 2:  110*1.1 = 121
  год 3:  121*1.1 = 133.1
  +--+--+---+----+
 100 110 121  133  (растёт всё быстрее)

Кредиты: два типа платежей

В кредитных задачах долг каждый месяц растёт на процент, а потом уменьшается на платёж. При дифференцированных платежах тело долга гасится равными долями; при аннуитетных — платёж одинаковый каждый месяц. Схему всегда подсказывает условие.

Разбор задачи (тип 16)

Вклад 20000 рублей положили под 15% годовых на 2 года (сложный процент). Сколько денег будет на счёте?

Коэффициент роста за год: 1 + 15/100 = 1.15.
За два года умножаем дважды: 20000 * 1.15 * 1.15 = 20000 * 1.3225.
Итог: 26450 рублей.

Ответ 26450. Обратите внимание: за второй год процент начисляется уже на 23000, а не на исходные 20000 — в этом суть «сложного» процента.

Типичные ошибки

Считать проценты простыми вместо сложных (начислять всегда на исходную сумму).
Путать ставку в долях и в процентах: 15% — это 0.15.
В кредите забывать, что процент начисляется до платежа, а не после.

Лайфхак: расписывайте по периодам

Если запутались в формуле, просто распишите движение денег по годам/месяцам в столбик. Для 2–4 периодов это надёжнее громоздкой формулы и почти не оставляет места ошибке.

# Вклад 20000 под 15% на 2 года, сложный процент
S = 20000
rate = 0.15
for year in range(1, 3):
    S = S * (1 + rate)
    print(f'После {year} года:', round(S, 2))
print('Итог:', round(S, 2))

Скрипт пошагово показывает 23000, затем 26450 — ровно наш ответ. Дальше — задания с параметром, вершина аналитической сложности.

Углубление: аннуитетный платёж по шагам

В задачах с равными (аннуитетными) платежами каждый месяц долг сначала растёт на процент, затем уменьшается на платёж: долг_новый = долг_старый * (1 + r) - платёж, где r — месячная ставка в долях. Расписав эту рекуррентную формулу на несколько месяцев, можно найти неизвестный платёж или срок, даже не зная «большой» формулы аннуитета.

Разбор второй задачи

Кредит 100000 рублей под 10% в месяц гасят двумя равными платежами. Найдите размер платежа.

После первого месяца долг с процентом: 100000 * 1.1 = 110000; после платежа x: 110000 - x.
После второго месяца: (110000 - x) * 1.1 - x = 0 (долг погашен).
Раскрываем: 121000 - 1.1x - x = 0, то есть 121000 = 2.1x, откуда x ≈ 57619 рублей.

Идея в том, чтобы записать долг как цепочку «умножили на коэффициент роста — вычли платёж» и приравнять конечный долг к нулю. Получается обычное уравнение относительно платежа. Для двух-трёх месяцев это надёжнее формулы геометрической прогрессии.

Проверка: оба платежа суммарно больше тела кредита (это переплата по процентам) — значит порядок величины верный.

Быстрый пример на закрепление

Цена товара 5000 рублей дважды поднялась на 20%. Сколько стала стоить? Каждое повышение — умножение на 1.2: 5000 * 1.2 * 1.2 = 5000 * 1.44 = 7200 рублей. Многократное изменение — это произведение коэффициентов роста, а не их сумма.

Тот же приём в обратную сторону: чтобы «снять» наценку 25%, делят на 1.25, а не вычитают 25%. Понимание коэффициента роста (1 + p/100) и обратного ему делает все процентные и кредитные задачи однотипными.

Прибавить p% — умножить на (1 + p/100); снять — разделить на него.
Сложный процент за n периодов: S * (1 + p/100)^n.
В кредите процент начисляется до платежа: долг * (1 + r) - платёж.

Где это пригодится

Экономическая задача (задание 16) опирается на проценты из текстовых задач и на степени из алгебры (сложный процент — это степень коэффициента роста). Навык «расписать движение денег по периодам» — это та же пошаговая дисциплина, что и в других развёрнутых заданиях. Хорошо разобравшись с коэффициентом роста, вы закроете весь класс финансовых задач.