Задание 19: числа и их свойства

Задание 19 — про целые числа: делимость, остатки, суммы, наибольшие и наименьшие значения. Здесь нет единой формулы, зато есть мощная стратегия «оценка плюс пример» и щедрая система частичных баллов: первый пункт берётся почти всеми.

Метод «оценка + пример»: чтобы доказать, что максимум равен N, сначала показывают, что больше N быть не может (оценка), а затем приводят конкретный пример, где N достигается.

Признаки делимости

Базовый инструмент — признаки делимости. На 2 делятся чётные; на 3 — если сумма цифр кратна 3; на 5 — оканчивающиеся на 0 или 5; на 9 — если сумма цифр кратна 9. Эти признаки экономят массу времени.

Признаки делимости
  на 2:  последняя цифра чётная
  на 3:  сумма цифр кратна 3
  на 5:  оканчивается на 0 или 5
  на 9:  сумма цифр кратна 9
  на 10: оканчивается на 0
  пример: 273 -> 2+7+3=12 -> кратно 3 -> 273:3=91

Остатки и их арифметика

Часто задача 19 сводится к остаткам от деления. Полезно знать: остатки складываются и перемножаются «по модулю». Например, если число даёт остаток 2 при делении на 3, то его квадрат даёт остаток 1 (потому что 2*2 = 4, остаток 1). Это помогает доказывать невозможность некоторых равенств.

Разбор задачи (тип 19, пункт а)

Можно ли представить число 100 в виде суммы трёх последовательных натуральных чисел?

1. Три последовательных числа: n - 1, n, n + 1. Их сумма = 3n.
2. Значит сумма всегда делится на 3.
3. Но 100 на 3 не делится (сумма цифр 1). Значит — нельзя.

Ответ: нет, нельзя. Это типичный первый пункт задания 19: короткое рассуждение про делимость, доступное каждому, кто знает признаки. За него дают балл почти всегда.

Типичные ошибки

• Привести пример и решить, что задача доказана, — без оценки максимум не обоснован.
• Перепутать «можно» и «нельзя», не доведя рассуждение про остатки до конца.
• Отказаться от задания целиком, хотя первый пункт обычно элементарен.

Лайфхак: всегда берите пункт а

Задание 19 почти всегда состоит из пунктов разной сложности. Пункт «а» (можно ли / приведите пример) часто решается за пару минут и даёт первый балл. Не пропускайте его, даже если не видите всё решение целиком.

# Проверим: сумма трёх подряд идущих чисел всегда кратна 3
def sum3(n):
    return (n-1) + n + (n+1)    # = 3n
for n in range(2, 8):
    s = sum3(n)
    print(f'вокруг {n}: сумма={s}, делится на 3? {s % 3 == 0}')
print('100 делится на 3?', 100 % 3 == 0)

Скрипт подтверждает: такая сумма всегда кратна 3, а 100 — нет. Это и есть строгое доказательство невозможности. На этом курс завершён: вы прошли все 19 типов заданий профильного ЕГЭ.

Углубление: оценка плюс пример на практике

Главный метод задания 19 в задачах «найдите наибольшее/наименьшее» — двухходовка. Сначала оценка: логическим рассуждением доказываем, что значение не может быть больше (или меньше) некоторого N. Затем пример: предъявляем конкретный набор чисел, на котором N достигается. Только оба шага вместе дают полный балл — пример без оценки не доказывает, что лучше нельзя.

Разбор второй задачи

Какое наибольшее число подряд идущих натуральных чисел могут давать в сумме 30?

1. Сумма k подряд идущих чисел, начиная с m, равна k*m + k(k-1)/2.
2. Перебираем k: при k = 4 получаем 6+7+8+9 = 30 — подходит.
3. При k = 5 минимально возможная сумма 1+2+3+4+5 = 15, но точного набора на 30 из пяти подряд нет (проверкой), а большее k даёт слишком большую минимальную сумму.
4. Значит наибольшее k = 4 (пример 6+7+8+9).

Здесь видна вся схема: перебор как оценка сверху и конкретный набор 6,7,8,9 как пример достижимости. Задание 19 любит именно такие конструкции — терпеливый разбор небольшого числа случаев плюс предъявленный пример.

И ещё раз про стратегию: пункт «а» этого типа (просто привести пример или проверить делимость) берётся почти всеми за пару минут — не оставляйте его пустым.

Быстрый пример на закрепление

Докажите, что произведение двух последовательных натуральных чисел всегда чётно. Из двух соседних чисел n и n + 1 одно обязательно чётное, а произведение с чётным множителем чётно. Короткое рассуждение про чётность — типичный «дешёвый» балл в задании 19.

Ещё пример рассуждения про остатки: квадрат любого целого числа даёт при делении на 4 остаток 0 или 1 (чётное в квадрате кратно 4, нечётное даёт остаток 1). Поэтому, например, число вида 4k + 3 никогда не может быть точным квадратом — это сразу закрывает целый класс задач на представимость.

• Признаки делимости: на 3 и 9 — по сумме цифр, на 2 и 5 — по последней цифре.
• Метод «оценка + пример» доказывает наибольшее/наименьшее значение.
• Рассуждения об остатках доказывают невозможность представлений.

Где это пригодится

Задание 19 — финал и экзамена, и нашего курса. Признаки делимости и рассуждения об остатках кажутся отдельной темой, но опираются на всю вашу математическую культуру. Главная мысль на прощание: не пропускайте первый пункт задания 19 — он часто элементарен и приносит балл, который многие теряют просто потому, что не попробовали.