Векторы и координаты (задание 2)

Вектор — это стрелка с направлением и длиной, заданная парой (или тройкой) координат. Задание 2 проверяет действия с векторами: сложение, длину, скалярное произведение и угол. Всё сводится к простым операциям с координатами.

Длина вектора (x; y): |v| = sqrt(x^2 + y^2). Скалярное произведение (x1; y1) и (x2; y2): x1*x2 + y1*y2. Если оно равно нулю — векторы перпендикулярны.

Действия с координатами

Сложение и вычитание векторов — покоординатно: (x1; y1) + (x2; y2) = (x1+x2; y1+y2). Умножение на число масштабирует каждую координату. Координаты вектора по двум точкам: из координат конца вычитаем координаты начала.

Вектор (3;4) на координатной плоскости
  y
  4 - - - - * (3;4)
  |       / |
  |     /   | |v|=sqrt(3^2+4^2)=5
  |   /     |
  | /       |
  +---------+---- x
  0         3

Скалярное произведение и угол

Скалярное произведение связывает векторы и угол между ними: a*b = |a| |b| cos(угол). Отсюда можно найти угол: cos(угол) = (a*b) / (|a| |b|). Нулевое скалярное произведение — признак перпендикулярности.

Разбор задачи (тип 2)

Найдите длину вектора AB, если A(1; 2), B(4; 6).

Координаты вектора: (4 - 1; 6 - 2) = (3; 4).
Длина: sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25).
Получаем |AB| = 5.

Ответ 5. Длина вектора — это просто расстояние между точками, посчитанное по теореме Пифагора в координатах.

Типичные ошибки

Считать координаты вектора как «начало минус конец» вместо «конец минус начало».
Забыть квадратный корень в длине вектора.
В скалярном произведении перемножать «крест-накрест» вместо одноимённых координат.

Лайфхак: перпендикуляр через ноль

Чтобы проверить, перпендикулярны ли векторы, не считайте угол — достаточно посчитать скалярное произведение. Ноль означает прямой угол.

import math
A = (1, 2); B = (4, 6)
ab = (B[0]-A[0], B[1]-A[1])      # вектор AB
length = math.hypot(*ab)
print('Вектор AB:', ab, ' длина:', length)
# Угол между (1;2) и (3;4)
u, v = (1,2), (3,4)
dot = u[0]*v[0] + u[1]*v[1]
cosang = dot / (math.hypot(*u) * math.hypot(*v))
print('Скалярное:', dot, ' угол:', round(math.degrees(math.acos(cosang)), 1))

Длина AB равна 5.0 — расчёт сошёлся. На этом геометрический блок завершён, переходим к вероятности и статистике.

Углубление: коллинеарность векторов

Два вектора коллинеарны (параллельны), если один получается из другого умножением на число: (x1; y1) = t * (x2; y2). На координатах это значит пропорциональность: x1/x2 = y1/y2. Перпендикулярность проверяется нулём скалярного произведения, а параллельность — пропорцией координат. Эти два теста закрывают почти все вопросы про взаимное расположение.

Разбор второй задачи

Найдите скалярное произведение векторов a(2; -1) и b(3; 4) и определите, перпендикулярны ли они.

Скалярное произведение: 2 * 3 + (-1) * 4 = 6 - 4 = 2.
Оно не равно нулю.
Значит векторы не перпендикулярны.

Скалярное произведение — это универсальный детектор угла: ноль означает прямой угол, положительное число — острый угол между векторами, отрицательное — тупой. По одному знаку результата уже многое понятно о геометрии.

В трёхмерных задачах формулы те же, только координат три: длина = sqrt(x^2 + y^2 + z^2), скалярное произведение — сумма трёх произведений одноимённых координат.

Быстрый пример на закрепление

Даны векторы a(1; 3) и b(4; 12). Коллинеарны ли они? Проверяем пропорцию координат: 1/4 и 3/12 = 1/4 — отношения совпадают, значит векторы коллинеарны (параллельны), и b = 4a. Пропорциональность координат — простой и быстрый тест на параллельность.

А векторы (2; 1) и (-1; 2) перпендикулярны: их скалярное произведение 2 * (-1) + 1 * 2 = -2 + 2 = 0. Так два разных вопроса — про параллельность и про перпендикулярность — решаются двумя короткими проверками: пропорция и скалярный ноль.

Длина вектора (x; y) равна sqrt(x^2 + y^2).
Скалярное произведение равно нулю — векторы перпендикулярны.
Координаты пропорциональны — векторы коллинеарны (параллельны).

Где это пригодится

Векторы и координаты — это задание 2, но координатный метод выручает и в геометрии части 2: иногда задачу 14 или 17 проще решить, введя оси и посчитав скалярные произведения, чем искать хитрое геометрическое построение. Длина вектора — это расстояние, поэтому теорема Пифагора и здесь работает как родная.