Планиметрия: треугольники (задания 1 и 17)

Планиметрия открывает экзамен (задание 1) и венчает геометрический блок (задание 17). В центре — треугольник: теорема Пифагора, площадь, теоремы синусов и косинусов. Освоив их, вы закрываете большую часть плоской геометрии.

Теорема Пифагора: c^2 = a^2 + b^2 (для прямоугольного треугольника). Площадь: S = (1/2) * a * b * sin(C), где C — угол между сторонами a и b.

Главные формулы треугольника

Площадь можно считать тремя способами: через основание и высоту S = (1/2) a h; через две стороны и угол S = (1/2) a b sin(C); по формуле Герона через полупериметр. Какой выбрать — зависит от того, что дано.

Прямоугольный треугольник
        |\
      b | \  c (гипотенуза)
        |  \
        |___\
          a
  c^2 = a^2 + b^2
  S = (1/2)*a*b
  sin(угол) = противолежащий / гипотенуза

Теоремы синусов и косинусов

Для произвольного треугольника: теорема косинусов c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C) связывает три стороны и угол; теорема синусов a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R связывает стороны, противолежащие углы и радиус описанной окружности.

Разбор задачи (тип 1)

В прямоугольном треугольнике катет равен 6, гипотенуза 10. Найдите второй катет.

По Пифагору: a^2 + 6^2 = 10^2.
a^2 = 100 - 36 = 64.
a = sqrt(64) = 8.

Ответ 8. Тройка 6, 8, 10 — это «удвоенная» классическая тройка 3, 4, 5; такие тройки полезно узнавать в лицо.

Типичные ошибки

Применять теорему Пифагора к непрямоугольному треугольнику.
Путать, какая сторона гипотенуза (она всегда напротив прямого угла и самая длинная).
В площади брать угол не между указанными сторонами.

Лайфхак: пифагоровы тройки

Запомните тройки 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 и их кратные. Увидев такие числа, вы мгновенно находите третью сторону без вычислений.

import math
# Второй катет при катете 6 и гипотенузе 10
leg, hyp = 6, 10
other = math.sqrt(hyp**2 - leg**2)
print('Второй катет:', other)
# Площадь треугольника со сторонами 5,7 и углом 30 град
S = 0.5 * 5 * 7 * math.sin(math.radians(30))
print('Площадь:', round(S, 3))

Скрипт выдаёт катет 8.0 — расчёт верен. Дальше перейдём от плоскости к объёму: стереометрия в заданиях 3 и 14.

Углубление: подобие треугольников

Треугольники подобны, если их углы попарно равны; тогда стороны пропорциональны с одним коэффициентом k. Площади подобных фигур относятся как k^2. Подобие — главный инструмент задания 17: оно связывает неизвестные отрезки через известные пропорции.

Разбор второй задачи

В треугольнике две стороны равны 6 и 8, а угол между ними 90°. Найдите площадь.

Угол прямой, значит sin(90°) = 1.
Площадь через две стороны и угол: S = (1/2) * 6 * 8 * 1.
Получаем S = 24.

Когда угол между сторонами прямой, формула площади упрощается до половины произведения сторон — ведь это обычный прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Узнавать такие частные случаи полезно: они решаются устно.

Для произвольного угла используйте полную формулу S = (1/2) a b sin(C), аккуратно подставляя именно угол между указанными сторонами, а не любой другой угол треугольника.

Быстрый пример на закрепление

В треугольнике стороны a = 7, b = 8 и угол между ними 60°. Найдите третью сторону по теореме косинусов: c^2 = 49 + 64 - 2 * 7 * 8 * cos(60°) = 113 - 112 * 0.5 = 113 - 56 = 57, значит c = sqrt(57). Теорема косинусов — обобщение теоремы Пифагора на любой угол.

Когда угол прямой, cos(90°) = 0, и теорема косинусов превращается в обычную теорему Пифагора c^2 = a^2 + b^2. Это удобно помнить: одна формула покрывает и прямоугольный, и произвольный треугольник.

Теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов при угле 90°.
Площадь: S = (1/2) a b sin(C), где C — угол между a и b.
Узнавайте пифагоровы тройки 3-4-5, 5-12-13 и кратные им.

Где это пригодится

Треугольники — основа всей геометрии экзамена. Теоремы Пифагора, синусов и косинусов работают и в плоском задании 17, и в стереометрии (задание 14), где пространственные задачи сводятся к плоским сечениям. Подобие и формулы площади — постоянные гости развёрнутых геометрических решений, поэтому этот урок стоит проработать особенно тщательно.