Задание 12: исследование функции на экстремумы

Задание 12 — кульминация блока функций: найти точку максимума, минимума или наибольшее значение на отрезке. Алгоритм один и тот же, и если выучить его как ритуал, задача решается почти автоматически.

Алгоритм: найти f'(x), приравнять к нулю, найти критические точки, определить знаки производной слева и справа. Смена + на - — максимум; - на + — минимум.

Правила дифференцирования

Минимальный набор: (x^n)' = n x^(n-1); (C)' = 0; производная суммы — сумма производных; (e^x)' = e^x; (ln x)' = 1/x; (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x. Этого хватает на подавляющее большинство задач.

Алгоритм поиска экстремума
  1) f'(x)                найдём производную
  2) f'(x)=0              критические точки
  3) знаки на оси:
        + | -            смена +/-  -> МАКСИМУМ
        - | +            смена -/+  -> МИНИМУМ
  4) на отрезке [a;b] сравниваем
     f в крит. точках и на концах a,b

Наибольшее значение на отрезке

Если функция исследуется на отрезке [a; b], наибольшее (или наименьшее) значение достигается либо в критической точке внутри отрезка, либо на одном из концов. Поэтому считаем f в этих точках и выбираем нужное.

Разбор задачи (тип 12)

Найдите точку минимума функции y = x^2 - 6x + 5.

Производная: y' = 2x - 6.
Приравниваем к нулю: 2x - 6 = 0, значит x = 3.
Слева от 3 производная отрицательна (функция убывает), справа положительна (растёт) — знак меняется с - на +.
Значит x = 3 — точка минимума.

Ответ 3. Для параболы это совпадает с абсциссой вершины x = -b/(2a) = 6/2 = 3 — удобная проверка.

Типичные ошибки

Найти критическую точку и забыть проверить знак производной (можно перепутать max и min).
На отрезке проверить только критические точки и забыть концы.
В ответ записать значение функции вместо x (или наоборот) — читайте, что именно спрашивают.

Лайфхак: парабола без производной

Если функция квадратичная, вершину можно найти по формуле x = -b/(2a) без дифференцирования. Это мгновенная проверка ответа задания 12.

# Найдём точку минимума y=x^2-6x+5
a, b, c = 1, -6, 5
x_vertex = -b / (2*a)
print('Вершина параболы x =', x_vertex)
# Подтвердим знаком производной y'=2x-6
for x in [2, 3, 4]:
    print(f"x={x}: y'={2*x - 6}")

Производная меняет знак с минуса на плюс при x = 3 — минимум подтверждён. На этом блок функций закрыт, переходим к геометрии.

Углубление: производные произведения и частного

Для более сложных функций нужны правила: производная произведения (uv)' = u'v + uv' и частного (u/v)' = (u'v - uv') / v^2. В заданиях 12 они встречаются, когда функция задана, например, как x * e^x или дробью. Знание этих правил расширяет круг доступных задач.

Разбор второй задачи

Найдите наибольшее значение функции y = -x^2 + 4x + 1 на отрезке [0; 3].

Производная: y' = -2x + 4, нуль при x = 2 (точка внутри отрезка).
Считаем значения в критической точке и на концах: y(0) = 1, y(2) = -4 + 8 + 1 = 5, y(3) = -9 + 12 + 1 = 4.
Наибольшее из 1, 5, 4 — это 5.

Алгоритм наибольшего значения на отрезке всегда один: сравнить значения функции в критических точках и на обоих концах. Ветви параболы направлены вниз (a < 0), поэтому в вершине x = 2 и оказался максимум.

Частая ошибка — записать в ответ абсциссу x = 2 вместо самого значения 5. Всегда перечитывайте: спрашивают точку максимума или максимальное значение.

Быстрый пример на закрепление

Найдите точку максимума функции y = -x^2 + 8x. Производная y' = -2x + 8, нуль при x = 4. Слева производная положительна, справа отрицательна — знак меняется с плюса на минус, значит x = 4 — максимум. Проверка по вершине: x = -b/(2a) = -8 / (-2) = 4. Совпало.

Полный алгоритм всегда одинаков: производная, её нули, знаки слева и справа, вывод о характере точки. Для квадратичной функции есть быстрая проверка через вершину, а для остальных опирайтесь только на смену знака производной.

Смена знака производной с + на - — максимум, с - на + — минимум.
На отрезке сравниваем значения в критических точках и на концах.
Различайте «точку максимума» (x) и «максимальное значение» (y).

Где это пригодится

Исследование функции завершает блок производной, но опирается на всё предыдущее: на технику вычислений (упростить производную), на метод интервалов (расставить её знаки) и на смысл производной из прошлого урока. Это хороший пример того, как темы курса складываются в единый инструмент решения задания 12.