Задание 11: чтение графиков функций

В задании 11 дан график и формула с параметрами — нужно найти коэффициент или значение в точке. Чтобы решать быстро, держите в голове «портрет» каждой базовой функции: как она выглядит и что меняют её параметры.

Линейная y = kx + b: k — наклон, b — точка пересечения с осью y. Парабола y = ax^2 + bx + c: знак a задаёт направление ветвей, c — пересечение с осью y.

Портреты базовых функций

На экзамене встречаются шесть «лиц»: прямая, парабола, гипербола, корень, показательная и логарифмическая. Умение мгновенно узнать тип — половина решения.

Базовые графики
  y=kx+b      y=x^2        y=1/x
    /          \   /         |
   /            \ /        --+-- 
  /              V           |
  прямая       парабола    гипербола

  y=2^x        y=log2 x     y=sqrt(x)
    |  /         ___          ___/
    | /         /            /
  __|/_       _/           _/
  показат.   логарифм      корень

Как параметры двигают график

Прибавление к x сдвигает график влево/вправо, прибавление снаружи — вверх/вниз. Умножение на число растягивает или сжимает. Знание этих сдвигов помогает по картинке восстановить формулу.

Разбор задачи (тип 11)

Прямая y = kx + b проходит через точки (0; 3) и (2; 7). Найдите k.

Из первой точки: при x = 0 получаем y = b = 3.
Наклон k — это изменение y, делённое на изменение x: (7 - 3) / (2 - 0) = 4/2 = 2.
Значит k = 2.

Ответ 2. Коэффициент наклона всегда читается как «на сколько поднимается y, когда x растёт на 1».

Типичные ошибки

Перепутать k и b местами.
Считать наклон как dx/dy вместо dy/dx (перевернуть дробь).
Не учесть знак: убывающая прямая имеет k < 0.

Лайфхак: две точки решают всё

Для прямой достаточно двух точек, для параболы — трёх. Подставьте координаты в формулу и решите систему — это надёжнее, чем «угадывать» по картинке.

# Найдём k и b прямой через две точки
x1, y1 = 0, 3
x2, y2 = 2, 7
k = (y2 - y1) / (x2 - x1)
b = y1 - k * x1
print('k =', k, ' b =', b)
# Проверка: подставим обе точки
print('Проверка точки (2;7):', k*2 + b)

Получаем k = 2, b = 3, и вторая точка подтверждается. Дальше — производная, ключ к заданиям 8 и 12.

Углубление: коэффициенты параболы по графику

По графику параболы y = ax^2 + bx + c читаются все три коэффициента. c — это точка пересечения с осью y (значение при x = 0). Знак a — по направлению ветвей. Знак b определяют через абсциссу вершины x = -b/(2a): зная знак a и сторону, куда смещена вершина, восстанавливают знак b.

Разбор второй задачи

Гипербола y = k/x проходит через точку (2; 6). Найдите k.

Подставляем координаты точки в формулу: 6 = k/2.
Отсюда k = 6 * 2 = 12.
Значит функция — y = 12/x.

Общий рецепт задания 11 одинаков для любой функции: подставьте координаты известной точки в формулу с неизвестным коэффициентом и решите получившееся уравнение. График лишь подсказывает тип функции и приблизительные значения для самоконтроля.

Если в формуле два неизвестных коэффициента, берите две точки и составляйте систему — она всегда решается, потому что задача корректна по построению.

Быстрый пример на закрепление

Показательная функция y = a^x проходит через точку (2; 9). Найдите основание a. Подставляем: 9 = a^2, значит a = 3 (берём положительное основание). Прямая подстановка точки в формулу снова решает задачу.

Полезно помнить «опорные» точки графиков: показательная всегда проходит через (0; 1), логарифмическая — через (1; 0), прямая пропорциональность y = kx — через начало координат. Эти точки помогают и узнать тип функции, и быстро проверить найденный коэффициент.

Универсальный приём: подставить координаты точки в формулу и решить уравнение.
Опорные точки: показательная через (0;1), логарифм через (1;0).
Два неизвестных коэффициента — берём две точки и составляем систему.

Где это пригодится

Умение читать графики — основа не только задания 11. В задании 8 вы будете различать график функции и график её производной, а в задании 18 графический метод «прямая и кривая» нередко оказывается быстрее аналитического. Портреты базовых функций стоит довести до автоматизма — они окупятся многократно.