Показательные и логарифмические неравенства

В задании 15 чаще всего стоит показательное или логарифмическое неравенство. Главная ловушка — основание: если оно меньше единицы, знак неравенства переворачивается. Разберём правило раз и навсегда.

Правило знака: при основании a > 1 функция возрастает, знак неравенства сохраняется. При 0 < a < 1 функция убывает — знак меняется на противоположный.

Показательные неравенства

Приводим обе части к одному основанию и сравниваем показатели — с учётом правила знака. Например, 2^x > 8 равносильно 2^x > 2^3, и так как основание > 1, знак сохраняется: x > 3.

Правило основания
  a > 1  (растёт):  a^f > a^g  <=>  f > g   (знак тот же)
  0<a<1  (падает):  a^f > a^g  <=>  f < g   (знак сменился!)

  log_a(f) > log_a(g):
    a > 1 :  f > g    |   0<a<1 :  f < g
    + всегда f>0 и g>0 (ОДЗ)

Логарифмические неравенства

Здесь два условия. Первое — область определения: всё под логарифмом строго положительно. Второе — сравнение аргументов с учётом основания. Сначала выписываем ОДЗ, потом решаем основное неравенство, а ответ — пересечение.

Разбор задачи (тип 15)

Решите неравенство log_2(x - 1) < 3.

1. Область определения: x - 1 > 0, то есть x > 1.
2. Основание 2 > 1, знак сохраняется: x - 1 < 2^3 = 8.
3. Отсюда x < 9.
4. Пересекаем с ОДЗ: 1 < x < 9.

Ответ — промежуток (1; 9). Если забыть про ОДЗ, можно ошибочно включить x <= 1, где логарифм вообще не определён.

Типичные ошибки

• Не сменить знак неравенства при основании 0 < a < 1.
• Забыть область определения и расширить ответ за её границы.
• Возводить обе части в степень/делить без учёта знака.

Лайфхак: рисуйте две оси

Отметьте ОДЗ на одной числовой оси, решение основного неравенства — на другой, и возьмите пересечение. Визуально ошибиться сложнее, чем держа всё в уме.

import math
# Проверим, что (1;9) — решение log_2(x-1)<3
for x in [0, 1, 2, 5, 8.9, 9, 10]:
    if x - 1 > 0:
        ok = math.log(x - 1, 2) < 3
        print(f'x={x}: log определён, неравенство {ok}')
    else:
        print(f'x={x}: вне ОДЗ (под логарифмом не положительно)')

Скрипт подтверждает: решение работает только внутри (1; 9). На этом блок уравнений и неравенств завершён — переходим к функциям и производной.

Углубление: метод рационализации

Сложные логарифмические неравенства удобно решать заменой: разность логарифмов log_a(f) - log_a(g) по знаку совпадает с произведением (a - 1)(f - g) при положительных f и g. Это превращает логарифмы в обычные множители и позволяет применить метод интервалов. Приём экономит время в части 2.

Разбор второй задачи

Решите неравенство (1/3)^x > 9.

1. Записываем обе части через основание 3: 3^(-x) > 3^2.
2. Основание 3 > 1, знак сохраняется: -x > 2.
3. Делим на -1 и меняем знак: x < -2.

Здесь сразу две тонкости со знаком: основание больше единицы (знак сохраняется при сравнении показателей), но при делении на отрицательное число знак неравенства всё равно переворачивается. Эти два правила независимы, и путать их нельзя.

Альтернатива: основание 1/3 < 1, и если бы мы работали с ним напрямую, знак сменился бы на первом же шаге. Любой корректный путь даёт один ответ x < -2 — это хорошая взаимная проверка.

Быстрый пример на закрепление

Решите log_3(x) >= 2. Область определения: x > 0. Основание 3 > 1, знак сохраняется: x >= 3^2 = 9. Пересекаем с областью — получаем x >= 9. Один из тех случаев, где область определения не урезает ответ, но проверить её всё равно нужно по привычке.

А теперь с «маленьким» основанием: log_(1/2)(x) >= 1. Область: x > 0. Основание 1/2 < 1 — знак меняется: x <= (1/2)^1 = 0.5. С учётом области ответ 0 < x <= 0.5. Сравните два примера: одно и то же действие, но из-за основания знак повёл себя по-разному.

• Основание > 1 — знак сохраняется; 0 < a < 1 — знак меняется.
• Область определения логарифма (аргумент > 0) проверяем всегда.
• Итог — пересечение решения основного неравенства и области определения.

Где это пригодится

Правило знака основания — это сердце задания 15, но та же логика «возрастает/убывает» работает при чтении графиков (задание 11) и при сравнении степеней и логарифмов в задании 7. А область определения, которую мы здесь учились находить, обязательна в любом логарифмическом задании всего экзамена.