Квадратные уравнения и метод интервалов

Квадратное уравнение и метод интервалов — рабочая лошадка всей второй части. Уравнение 13, неравенство 15, исследование функций — всюду вы будете раскладывать квадратный трёхчлен и расставлять знаки на числовой оси.

Дискриминант: D = b^2 - 4ac. Корни: x = (-b +- sqrt(D)) / (2a). Если D > 0 — два корня, D = 0 — один, D < 0 — корней нет.

Дискриминант и Виет

Для уравнения ax^2 + bx + c = 0 считаем дискриминант и подставляем в формулу корней. Часто быстрее теорема Виета: сумма корней = -b/a, произведение = c/a. Для приведённого x^2 + px + q = 0 ищем два числа с суммой -p и произведением q.

Метод интервалов

Чтобы решить неравенство, переносим всё в одну часть, раскладываем на множители и находим нули. Отмечаем их на оси и определяем знак выражения на каждом промежутке — обычно знаки чередуются.

Неравенство (x-2)(x-5) > 0
  нули: x=2 и x=5

   +        -         +
<----o========o---->
     2        5
  ответ: x<2 или x>5  (где знак +)

Разбор задачи (тип 15)

Решите неравенство x^2 - 5x + 6 < 0.

Находим корни трёхчлена: по Виету 2 и 3 (сумма 5, произведение 6).
Раскладываем: (x - 2)(x - 3) < 0.
Парабола ветвями вверх, значит между корнями выражение отрицательно.
Ответ: 2 < x < 3.

Знак < 0 означает «ниже оси» — это промежуток между корнями. Если бы стояло > 0, ответом были бы два луча по краям.

Типичные ошибки

Перепутать «между корнями» и «снаружи»: всё решает направление ветвей и знак неравенства.
Включить или исключить концы не в ту сторону (строгое/нестрогое неравенство).
Делить неравенство на выражение с переменной — можно потерять знак.

Лайфхак: проверка точкой

Возьмите любое число из найденного промежутка и подставьте в неравенство. Если оно выполняется — ответ верный, если нет — вы перепутали знак.

import math
# Корни x^2-5x+6 и проверка неравенства <0 на промежутке
a, b, c = 1, -5, 6
D = b*b - 4*a*c
x1 = (-b - math.sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b + math.sqrt(D)) / (2*a)
print('Корни:', x1, x2)
test = 2.5            # число из промежутка (2;3)
print('В точке 2.5 трёхчлен =', test**2 - 5*test + 6, '(<0 -> верно)')

В точке 2.5 трёхчлен отрицателен — промежуток выбран правильно. Дальше распространим метод интервалов на показательные и логарифмические неравенства.

Углубление: неполные квадратные уравнения

Не всегда нужен дискриминант. Если c = 0, выносим x за скобку: x^2 + bx = x(x + b) = 0, корни x = 0 и x = -b. Если b = 0, то x^2 = -c/a и корни — квадратные корни (если правая часть неотрицательна). Эти случаи решаются устно и экономят время.

Разбор второй задачи

Решите неравенство x^2 - 9 >= 0.

Раскладываем разность квадратов: (x - 3)(x + 3) >= 0.
Нули: x = -3 и x = 3.
Парабола ветвями вверх, знак >= 0 — берём «снаружи» корней.
Ответ: x <= -3 или x >= 3 (концы включены, так как неравенство нестрогое).

Сравните с предыдущим разбором: там было < 0 и ответом служил промежуток между корнями, а здесь >= 0 — и ответ это два луча по краям. Знак неравенства и направление ветвей вместе решают, где «внутри», а где «снаружи».

Для нестрогих неравенств <= и >= концы (корни) включаются в ответ; для строгих < и > — исключаются. Эту мелочь теряют чаще всего.

Быстрый пример на закрепление

Решите неравенство (x - 1)(x - 2)(x - 4) > 0 методом интервалов. Нули: 1, 2, 4. На оси справа от самого большого корня знак «плюс», далее знаки чередуются: на (4; +бесконечность) плюс, на (2; 4) минус, на (1; 2) плюс, на (-бесконечность; 1) минус. Берём промежутки со знаком плюс: 1 < x < 2 или x > 4.

Чередование знаков работает, когда все множители входят в первой степени. Если множитель в чётной степени (например (x - 3)^2), в этой точке знак не меняется — это важное исключение, которое часто проверяют.

Метод интервалов: нули на оси, знак справа «плюс», далее чередование.
Множитель в чётной степени знак НЕ меняет.
Проверяйте ответ подстановкой числа из найденного промежутка.

Где это пригодится

Метод интервалов — один из самых универсальных инструментов экзамена. Он решает неравенство 15, помогает в исследовании функций (задание 12, где знаки производной расставляются на оси) и в задачах с параметром (задание 18). Освоив чередование знаков и разложение на множители, вы получаете ключ сразу к нескольким темам.