Задание 6: простейшие уравнения всех типов

Задание 6 — это «уравнение в один шаг». Линейное, квадратное, показательное, логарифмическое, иррациональное или тригонометрическое — у каждого свой ключ, но логика одна: свести к равенству, которое решается напрямую.

Главный приём показательных уравнений: a^f = a^g равносильно f = g (при a > 0, a != 1). Для логарифмических: log_a(f) = b равносильно f = a^b.

Карта простейших уравнений

Все типы из задания 6 решаются по таблице соответствий. Главное — узнать тип и применить нужное «снятие» функции.

Тип уравнения        ->  как решать
  2x - 6 = 0         ->  x = 3 (линейное)
  x^2 = 49           ->  x = +-7
  2^x = 8            ->  x = 3 (равные основания)
  log_3(x) = 2       ->  x = 3^2 = 9
  sqrt(x-1) = 3      ->  x-1 = 9 -> x = 10
  cos(x) = 1         ->  x = 2*pi*k

Показательные и логарифмические

В показательном уравнении приводим обе части к одному основанию и приравниваем показатели. В логарифмическом — по определению логарифма «снимаем» log, не забывая про область определения: аргумент логарифма должен быть строго положителен.

Разбор задачи (тип 6)

Решите уравнение log_5(2x - 3) = 2.

По определению логарифма: 2x - 3 = 5^2 = 25.
Решаем линейное: 2x = 28, значит x = 14.
Проверяем область: 2*14 - 3 = 25 > 0 — корень подходит.

Ответ 14. Проверка области определения здесь обязательна: иногда формальный корень даёт под логарифмом отрицательное число и отбрасывается.

Типичные ошибки

Забыть проверить область определения в логарифмическом и иррациональном уравнении.
В x^2 = 49 написать только x = 7, потеряв корень -7.
В иррациональном уравнении не проверить корень обратной подстановкой (появляются посторонние корни).

Лайфхак: подстановка как страховка

Получив корень, всегда подставляйте его в исходное уравнение. В показательных и логарифмических это занимает секунды и ловит посторонние корни.

import math
# log_5(2x-3)=2  ->  x=14, проверим
x = 14
print('Аргумент логарифма:', 2*x - 3)         # должен быть 25 > 0
print('log_5(25) =', round(math.log(2*x-3, 5), 6))  # должно быть 2
# и заодно x^2=49 имеет два корня
print('Корни x^2=49:', [r for r in (-7, 7) if r*r == 49])

Логарифм действительно равен 2, корень верен. Дальше — квадратные уравнения и неравенства, где появляется метод интервалов.

Углубление: тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения имеют серии решений. cos(x) = 1 даёт x = 2 pi k; sin(x) = 0 даёт x = pi k; cos(x) = 0 даёт x = pi/2 + pi k, где k — любое целое. В задании 6 обычно просят наименьший положительный корень — тогда из серии выбирают подходящее k.

Разбор второй задачи

Решите уравнение 3^(x - 2) = 9.

Приводим правую часть к основанию 3: 9 = 3^2.
Основания равны, значит показатели равны: x - 2 = 2.
Отсюда x = 4.

Главный приём показательных уравнений — привести обе части к одному основанию. Тогда уравнение «снимает» степень и превращается в линейное относительно показателя. Если основания привести не удаётся, в задании 6 такого, как правило, не бывает — это сигнал перепроверить условие.

В иррациональных уравнениях после возведения в квадрат обязательно делайте проверку: возведение может добавить посторонний корень, не удовлетворяющий исходному уравнению.

Быстрый пример на закрепление

Решите sqrt(x + 3) = 4. Возводим обе части в квадрат: x + 3 = 16, значит x = 13. Проверка: sqrt(13 + 3) = sqrt(16) = 4 — верно. В иррациональных уравнениях проверка обязательна, потому что возведение в квадрат может породить посторонний корень.

Ещё пример: 5^(2x) = 25. Записываем 25 = 5^2, приравниваем показатели: 2x = 2, значит x = 1. Универсальный принцип задания 6 — «снять» функцию (корень, степень, логарифм) и свести задачу к простому линейному или квадратному уравнению.

Показательное: приводим к одному основанию, приравниваем показатели.
Логарифмическое и иррациональное: проверяем область определения и подставляем корень обратно.
Квадратное x^2 = c при c > 0 даёт два корня +-sqrt(c).

Где это пригодится

Умение «снимать» функцию — степень, логарифм, корень — работает и в развёрнутом задании 13, где тригонометрическое уравнение после замены сводится к простейшему. Привычка проверять область определения и подставлять корень обратно спасёт вас от посторонних корней и в части 1, и в части 2.