Задание 7: значение выражения без ошибок

Задание 7 — «вычислите значение выражения». За ним стоит не одна тема, а целый набор приёмов: формулы сокращённого умножения, свойства степеней, логарифмы и тригонометрия. Соберём рабочий арсенал.

Три формулы сокращённого умножения, без которых никуда: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, (a-b)(a+b) = a^2 - b^2.

Формулы сокращённого умножения

Эти формулы работают в обе стороны. Слева направо — раскрываем скобки; справа налево — сворачиваем (факторизуем). Именно сворачивание чаще всего даёт сокращение дробей и «красивый» ответ.

Сокращённое умножение — в обе стороны
  (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
  a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)   <- разность квадратов
  a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)
  a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

Тригонометрия в вычислениях

Часто в задании 7 нужно посчитать выражение с синусами и косинусами. Опора — основное тождество sin^2(t) + cos^2(t) = 1 и формулы двойного угла: sin(2t) = 2 sin(t) cos(t), cos(2t) = cos^2(t) - sin^2(t).

Разбор задачи (тип 7)

Найдите значение выражения (sqrt(50) - sqrt(2)) / sqrt(2).

Упрощаем корень: sqrt(50) = sqrt(25 * 2) = 5 sqrt(2).
Числитель: 5 sqrt(2) - sqrt(2) = 4 sqrt(2).
Делим на sqrt(2): 4 sqrt(2) / sqrt(2) = 4.

Ответ 4. Ключевой приём — вынести множитель из-под корня, чтобы радикалы стали одинаковыми и сократились.

Типичные ошибки

Раскрыть (a-b)^2 как a^2 - b^2 (потеря среднего члена -2ab).
Считать sqrt(a+b) = sqrt(a) + sqrt(b) — это неверно.
Терять знак при подстановке отрицательного числа в чётную степень.

Лайфхак: подстановка вместо алгебры

Если в выражении есть буквы и его нужно лишь упростить «к числу», иногда быстрее подставить заданное значение сразу и аккуратно посчитать в столбик, чем городить преобразования.

import math
# (sqrt(50)-sqrt(2))/sqrt(2) должно дать 4
val = (math.sqrt(50) - math.sqrt(2)) / math.sqrt(2)
print('Значение:', round(val, 6))
# Проверим формулу разности квадратов на числах
a, b = 13, 7
print('a^2-b^2 =', a*a - b*b, '=(a-b)(a+b)=', (a-b)*(a+b))

Численно выходит ровно 4. На этом блок чистых вычислений закрыт — переходим к уравнениям и неравенствам, где те же приёмы работают на новых задачах.

Углубление: формулы приведения

Тригонометрические значения углов вроде 120° или 210° сводят к углам первой четверти формулами приведения. Простое правило: sin(180° - t) = sin(t), cos(180° - t) = -cos(t). Знак определяется четвертью, в которой лежит исходный угол. Это позволяет считать тригонометрию без калькулятора по таблице основных значений.

Разбор второй задачи

Найдите значение 6 * cos(2t), если cos(t) = 0.5.

Формула двойного угла: cos(2t) = 2 cos^2(t) - 1.
Подставляем: 2 * 0.25 - 1 = 0.5 - 1 = -0.5.
Умножаем: 6 * (-0.5) = -3.

Здесь сработала «правильная» версия формулы двойного угла — через косинус, потому что именно косинус нам дан. Всегда выбирайте тот вид формулы, который использует известную величину, чтобы не вводить лишних неизвестных.

Таблицу значений синуса и косинуса для 0°, 30°, 45°, 60°, 90° нужно знать наизусть: на ней держится вся тригонометрия задания 7.

Быстрый пример на закрепление

Вычислите (37^2 - 13^2) / 24. Применяем разность квадратов: 37^2 - 13^2 = (37 - 13)(37 + 13) = 24 * 50 = 1200. Делим: 1200 / 24 = 50. Без формулы пришлось бы считать два больших квадрата, а с ней — почти устно.

Ещё пример — с тригонометрией: sin(2t), если sin(t) = 0.6 и cos(t) = 0.8. По формуле двойного угла sin(2t) = 2 sin(t) cos(t) = 2 * 0.6 * 0.8 = 0.96. Узнавание подходящей формулы и аккуратная подстановка — вся суть задания 7.

Разность квадратов превращает большие вычисления в произведение.
В тригонометрии опирайтесь на основное тождество и формулы двойного угла.
Выбирайте ту форму формулы, которая использует известные величины.

Где это пригодится

Техника вычислений — фундамент всей части 2. Формулы сокращённого умножения раскладывают трёхчлены в неравенствах (задание 15) и в задачах с параметром (задание 18); тригонометрические тождества нужны в уравнении 13; рационализация и работа с корнями — в геометрии. Чем чище ваши преобразования, тем меньше обидных потерь во всех развёрнутых заданиях.