Логарифмы: определение и свойства

Логарифм — это «показатель степени наоборот». Как только вы перестанете его бояться и начнёте читать определение буквально, задания 6 и 7 с логарифмами станут механическими.

Определение: log_a(b) = c означает a^c = b. Логарифм — это степень, в которую надо возвести основание a, чтобы получить b (при a > 0, a != 1, b > 0).

Как читать логарифм

Запись log_2(8) читается так: «в какую степень возвести 2, чтобы вышло 8?» Ответ 3, потому что 2^3 = 8. Этот вопрос — единственное, что нужно держать в голове.

Логарифм как обратная операция
      возведение:  2 --(^3)--> 8
      логарифм:    8 --(log2)--> 3
  log_a(b)=c  <=>  a^c=b
  log_2(1)=0   (2^0=1)
  log_2(2)=1   (2^1=2)
  log_5(25)=2  (5^2=25)

Свойства логарифмов

Четыре свойства закрывают почти все задачи: log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y); log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y); log_a(x^k) = k * log_a(x); основное тождество a^(log_a(b)) = b. И формула перехода: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a).

Разбор задачи (тип 7)

Найдите значение выражения log_3(45) - log_3(5).

Разность логарифмов — это логарифм частного: log_3(45/5).
Считаем дробь: 45/5 = 9.
log_3(9) = 2, потому что 3^2 = 9.

Ответ 2. Обратите внимание: мы не вычисляли логарифмы по отдельности (они «некрасивые»), а сначала свернули выражение по свойству.

Типичные ошибки

Думать, что log_a(x) + log_a(y) = log_a(x+y). Нет — это логарифм произведения.
Забывать область определения: под логарифмом всегда строго положительное число.
Путать основание и аргумент в формуле перехода.

Лайфхак: «прячем» множитель в степень

Выражение вида 2 * log_3(5) удобно превращать в log_3(25): множитель уходит в показатель. Это часто превращает разные логарифмы в один и даёт сокращение.

import math
# Проверим: log_3(45) - log_3(5) = 2
val = math.log(45, 3) - math.log(5, 3)
print('Значение выражения:', round(val, 6))
# И основное тождество a^(log_a b) = b
a, b = 3, 7
print('3^(log_3 7) =', round(a ** math.log(b, a), 6))

Численная проверка показывает ровно 2.0 — свойства работают. Следующий шаг — собрать степени, корни и логарифмы в технике вычислений задания 7.

Углубление: десятичный и натуральный логарифмы

Отдельно стоят два логарифма с привычными обозначениями: lg x = log_10(x) (десятичный) и ln x = log_e(x) (натуральный, основание e ≈ 2.718). Свойства у них те же самые, просто основание фиксировано. В задании 7 чаще встречается десятичный, в производных — натуральный.

Разбор второй задачи

Найдите значение 2^(log_2(5) + 3).

Разбиваем степень суммы: 2^(log_2(5)) * 2^3.
По основному тождеству 2^(log_2(5)) = 5.
Получаем 5 * 8 = 40.

Ключевой момент — узнать в выражении основное логарифмическое тождество a^(log_a(b)) = b. Оно «схлопывает» показатель и логарифм в исходное число, и громоздкая запись превращается в простое умножение.

Совет: если основание степени и основание логарифма совпадают, почти наверняка нужно применить именно это тождество. Это сигнал, который стоит научиться замечать мгновенно.

Быстрый пример на закрепление

Вычислите log_2(16) + log_3(27). По определению: log_2(16) = 4 (так как 2^4 = 16) и log_3(27) = 3 (так как 3^3 = 27). Сумма равна 7. Никаких свойств не понадобилось — достаточно вопроса «в какую степень возвести основание».

А вот пример со свойством: log_6(2) + log_6(3) = log_6(2 * 3) = log_6(6) = 1. Сумма логарифмов свернулась в логарифм произведения, и ответ оказался «круглым». Если в задаче логарифмы по одному основанию складываются или вычитаются — почти всегда нужно сворачивать их по свойствам, а не считать по отдельности.

Логарифм читается как вопрос «в какую степень возвести основание».
Сумма логарифмов — логарифм произведения; разность — логарифм частного.
Основное тождество a^(log_a b) = b «схлопывает» степень и логарифм.

Где это пригодится

Логарифмы встречаются не только в задании 7. Логарифмические уравнения — это задание 6, логарифмические неравенства — задание 15, а производная (ln x)' = 1/x нужна в исследовании функций (задание 12). Поэтому уверенное чтение логарифма «как степени наоборот» окупится сразу в нескольких номерах экзамена.