Стереометрия: объёмы и площади (задания 3 и 14)

Стереометрия — это та же планиметрия, но с третьим измерением и формулами объёма. Задание 3 проверяет умение считать объёмы и площади, а задание 14 — строить и доказывать в пространстве. Соберём формульный каркас.

Ключевая идея объёмов: у «прямых» тел (призма, цилиндр) V = S_осн * h, у «острых» (пирамида, конус) — втрое меньше: V = (1/3) * S_осн * h. Объём шара: V = (4/3) pi R^3.

Объёмы основных тел

Запомнить проще, если разбить тела на две группы. «Столбики» с постоянным сечением: V = S h (призма, цилиндр, параллелепипед). «Заострённые» к вершине: V = (1/3) S h (пирамида, конус).

Объёмы — две семьи
  ПРИЗМА/ЦИЛИНДР:  V = S_осн * h
    +----+
    |    |  h        V = S*h
    +----+

  ПИРАМИДА/КОНУС:  V = (1/3)*S_осн*h
      /\
     /  \  h        V = S*h/3
    /____\
  ШАР:  V=(4/3)*pi*R^3,  S=4*pi*R^2

Площади поверхностей

Площадь поверхности — сумма площадей всех граней или развёртки. У цилиндра боковая поверхность = 2 pi R h, у сферы = 4 pi R^2. В задании 14 часто нужно найти не сам объём, а угол или расстояние, опираясь на эти тела.

Разбор задачи (тип 3)

Объём куба равен 27. Найдите площадь его поверхности.

Объём куба = a^3 = 27, значит ребро a = 3.
У куба 6 одинаковых квадратных граней.
Площадь поверхности = 6 a^2 = 6 * 9 = 54.

Ответ 54. Логика проста: из объёма достали ребро, через ребро посчитали площадь. Эта цепочка «объём -> ребро -> площадь» работает во многих задачах.

Типичные ошибки

Забыть множитель 1/3 для пирамиды и конуса.
Перепутать радиус и диаметр в формулах шара.
Складывать не все грани при подсчёте площади поверхности.

Лайфхак: следите за единицами

Объём измеряется в кубах единиц, площадь — в квадратах. Если в расчёте «сошлись» размерности (объём вышел в третьей степени длины), значит формула применена верно.

import math
# Куб объёмом 27: ребро и площадь поверхности
V = 27
a = round(V ** (1/3))
print('Ребро куба:', a, ' Площадь поверхности:', 6 * a*a)
# Объёмы конуса и цилиндра с R=2, h=5
R, h = 2, 5
print('Цилиндр:', round(math.pi*R*R*h, 2))
print('Конус  :', round(math.pi*R*R*h/3, 2))

Площадь поверхности куба — 54, а объём конуса ровно втрое меньше цилиндра. Дальше — векторы и координаты в пространстве.

Углубление: подобие тел и отношение объёмов

Если линейные размеры тела увеличить в k раз, площади поверхностей растут в k^2 раз, а объёмы — в k^3 раз. Это правило часто встречается в задачах, где одно тело «вписано» в другое или получено усечением. Понимание степеней k, k^2, k^3 мгновенно даёт ответ без громоздких вычислений.

Разбор второй задачи

Объём пирамиды с площадью основания 12 и высотой 5.

Пирамида — «заострённое» тело, формула V = (1/3) S h.
Подставляем: V = (1/3) * 12 * 5.
Считаем: V = 60/3 = 20.

Решающий момент — не забыть множитель 1/3, который отличает пирамиду и конус от призмы и цилиндра. Если бы это была призма с тем же основанием и высотой, объём был бы втрое больше: 60.

Полезный самоконтроль: объём конуса или пирамиды всегда меньше объёма «обнимающего» их цилиндра или призмы ровно в три раза. Если у вас вышло иначе — ищите ошибку.

Быстрый пример на закрепление

Найдите объём цилиндра с радиусом основания 3 и высотой 10. Площадь основания (круга) S = pi R^2 = 9 pi, объём V = S h = 9 pi * 10 = 90 pi. В ответах ЕГЭ часто разрешают оставлять pi или указывают принять pi = 3 — тогда V = 270.

Сравните «прямое» тело (цилиндр, V = S h) и «острое» (конус с тем же основанием и высотой, V = S h / 3): объём конуса был бы 30 pi, ровно втрое меньше. Это отношение 3:1 — самая надёжная проверка в стереометрии.

Призма и цилиндр: V = S_осн * h; пирамида и конус: V = (1/3) S_осн * h.
При увеличении линейных размеров в k раз объём растёт в k^3 раз.
Объём «острого» тела втрое меньше «обнимающего» его «прямого».

Где это пригодится

Объёмы и площади поверхностей — это задание 3 части 1, а навык «разглядеть плоский треугольник внутри пространственного тела» ведёт прямо к развёрнутому заданию 14. Связка с планиметрией здесь теснейшая: почти любая стереометрическая задача в какой-то момент превращается в плоскую, которую вы уже умеете решать.