Задание 4: классическая вероятность

Вероятность в задании 4 — одна из самых «дешёвых» тем: формула короткая, а задачи однотипные. Нужно лишь аккуратно сосчитать, сколько всего исходов и сколько из них благоприятных.

Классическая вероятность: P = m / n, где n — число всех равновозможных исходов, m — число благоприятных. Результат всегда от 0 до 1.

Считаем исходы

Весь секрет — в правильном подсчёте n и m. Для кубика n = 6, для монеты n = 2, для колоды n = 36 или 52. Благоприятные исходы выписываем по условию задачи.

Игральный кубик: 6 равновозможных исходов
  [1][2][3][4][5][6]
  чётные: 2,4,6  ->  m=3
  P(чётное) = m/n = 3/6 = 0.5

  P=0 невозможно ... 0.5 ... 1 достоверно
  |----------|----------|

Немного комбинаторики

Когда исходов много, на помощь приходит комбинаторика. Число сочетаний из n по k (выбор без учёта порядка) равно C(n,k) = n! / (k! (n-k)!). Это нужно, например, чтобы сосчитать, сколькими способами выбрать команду.

Разбор задачи (тип 4)

В урне 3 белых и 5 чёрных шаров. Наугад вынимают один. Какова вероятность, что он белый?

Всего шаров: n = 3 + 5 = 8.
Благоприятных (белых): m = 3.
Вероятность: P = 3/8 = 0.375.

Ответ 0.375. В бланк идёт десятичная дробь. Заметьте: ответ всегда между 0 и 1 — это удобный самоконтроль.

Типичные ошибки

Забыть часть исходов при подсчёте n (например, не сложить все шары).
Получить вероятность больше 1 — верный признак ошибки.
Записать ответ обыкновенной дробью вместо десятичной.

Лайфхак: проверка перебором

Если сомневаетесь, выпишите или мысленно переберите все исходы. На маленьких числах это быстрее, чем формула, и почти не оставляет места ошибке.

from itertools import product
# Вероятность чётной суммы при броске двух кубиков (перебор)
isxody = list(product(range(1,7), repeat=2))
blago = [pair for pair in isxody if (pair[0]+pair[1]) % 2 == 0]
P = len(blago) / len(isxody)
print('Всего исходов:', len(isxody))
print('Благоприятных:', len(blago))
print('Вероятность чётной суммы:', P)

Перебор даёт ровно 0.5 — половина исходов даёт чётную сумму. Дальше — сложные события: сумма, произведение и противоположная вероятность.

Углубление: размещения и перестановки

Когда порядок важен, считают размещения и перестановки. Число перестановок n элементов равно n! (факториал). Размещения из n по k с учётом порядка: n! / (n - k)!. Если порядок не важен — это сочетания C(n, k). Правильный выбор «важен ли порядок» — половина успеха в комбинаторных задачах.

Разбор второй задачи

Бросают два игральных кубика. Какова вероятность, что сумма очков равна 7?

Всего исходов: 6 * 6 = 36.
Сумма 7 даётся парами (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) — всего 6.
Вероятность: 6/36 = 1/6 ≈ 0.17 (в бланк — округлённое по условию значение).

Здесь важно считать пары как упорядоченные: (1,6) и (6,1) — разные исходы, потому что кубики различимы. Это типичная тонкость: число 7 — самая вероятная сумма на двух кубиках именно потому, что у неё больше всего способов.

Проверка перебором (см. врезку выше) — лучший способ убедиться в правильности подсчёта на маленьких числах.

Быстрый пример на закрепление

В классе 10 мальчиков и 15 девочек. Наугад выбирают дежурного. Какова вероятность, что это девочка? Всего исходов 10 + 15 = 25, благоприятных 15, вероятность 15/25 = 0.6. Формула P = m/n работает напрямую, как только аккуратно сосчитаны все исходы.

Контроль: 0.6 лежит между 0 и 1, и логично, что вероятность выбрать девочку больше половины — ведь их большинство. Такая прикидка по смыслу мгновенно ловит грубые ошибки в подсчёте.

Классическая вероятность: P = m/n (благоприятные на все равновозможные).
Ответ всегда в пределах от 0 до 1 — это встроенная проверка.
На маленьких числах перебор исходов надёжнее формулы.

Где это пригодится

Классическая вероятность — это задание 4, самое выгодное по соотношению «балл за минуту». Навык аккуратного подсчёта исходов и комбинаторики переходит и в задание 5, где те же исходы складываются в более сложные события. Освойте перебор на маленьких числах — он не раз спасёт вас от ошибки в подсчёте.