Колебание как вращающийся вектор

Гармоническое колебание — это тень вращающегося по окружности вектора.

Гармоническое колебание $A\cos(\omega t+\varphi)$ — это вещественная часть вращающегося комплексного вектора $A e^{i(\omega t+\varphi)}$.

Тень вращения

Представьте точку, равномерно бегущую по окружности радиуса $A$ с угловой скоростью $\omega$. Её положение — комплексное число $A e^{i(\omega t+\varphi)}$. Проекция этой точки на вещественную ось колеблется по косинусу:

$$\operatorname{Re}\big(A e^{i(\omega t+\varphi)}\big)=A\cos(\omega t+\varphi).$$

То есть привычная синусоида — это «тень» равномерного вращения. Такой взгляд объясняет, почему комплексная экспонента так естественна в физике колебаний: она содержит и амплитуду, и фазу, и закон движения сразу.

Считаем мгновенные значения

Промоделируем колебание $u(t)=5\cos(\omega t+\pi/6)$ в нескольких точках через вращающийся вектор:

import cmath, math
A = 5.0
w = 2 * math.pi * 1.0   # частота 1 Гц
phi = math.pi / 6        # начальная фаза 30 град
for t in [0.0, 0.1, 0.25, 0.5]:
    vector = A * cmath.exp(1j * (w*t + phi))
    u = vector.real
    print(f"t={t:>4}: u = {round(u, 3)}")

Вывод:

t= 0.0: u = 4.33
t= 0.1: u = 2.034
t=0.25: u = -2.5
t= 0.5: u = -4.33
Значения округлены

При $t=0$ значение $5\cos(30^\circ)\approx4.33$ — ровно проекция начального вектора. Дальше вектор крутится, и проекция колеблется.

Почему это удобно

Производная вращающегося вектора снова вращающийся вектор: $\dfrac{d}{dt}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t}$. Поэтому дифференцирование колебания сводится к умножению на $i\omega$ — именно это мы использовали в импедансах. Сложные операции анализа во временной области превращаются в простую арифметику с комплексными числами.

Как работает под капотом

Запись $A e^{i(\omega t+\varphi)}=\underbrace{A e^{i\varphi}}_{\text{фазор}}\cdot e^{i\omega t}$ разделяет «что не меняется» (амплитуда и фаза — фазор) и «общее вращение» ($e^{i\omega t}$). В цепи на одной частоте у всех сигналов общий множитель $e^{i\omega t}$, поэтому достаточно работать с фазорами. Так метод комплексных амплитуд из предыдущего раздела получает физическое обоснование.

Частые ошибки

• Забывать брать вещественную часть. Физический сигнал — это $\operatorname{Re}$ от комплексного вектора, а не сам вектор.
• Путать угловую частоту $\omega$ (рад/с) и обычную $f$ (Гц): $\omega=2\pi f$.
• Считать, что мнимая часть «лишняя». Она хранит информацию о фазе и нужна для расчётов.

Итог

• Колебание $A\cos(\omega t+\varphi)$ — вещественная часть вектора $A e^{i(\omega t+\varphi)}$.
• Дифференцирование колебания — умножение на $i\omega$.
• Разделение на фазор и $e^{i\omega t}$ обосновывает метод комплексных амплитуд.