Сложение колебаний и биения

Складываем две синусоиды близких частот и слышим, как громкость пульсирует — это биения.

Биения — медленные периодические изменения амплитуды, возникающие при сложении двух колебаний близких частот.

Сложение через комплексные векторы

Сложить два колебания одной частоты легко: их фазоры складываются как векторы, и сумма — снова синусоида той же частоты. Куда интереснее сложить колебания близких, но разных частот $\omega_1$ и $\omega_2$. Используя тригонометрию (или сложение комплексных экспонент), получаем:

$$\cos\omega_1 t+\cos\omega_2 t=2\cos\!\Big(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}\,t\Big)\cos\!\Big(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\,t\Big).$$

Это произведение двух косинусов: быстрый со средней частотой $\dfrac{\omega_1+\omega_2}{2}$ и медленный с частотой $\dfrac{\omega_1-\omega_2}{2}$. Медленный множитель играет роль «огибающей» — он плавно увеличивает и уменьшает громкость. Это и есть биения.

Симуляция

Сложим колебания $9$ Гц и $11$ Гц и найдём моменты, где суммарная амплитуда близка к максимуму (огибающая $\approx2$) и к минимуму (огибающая $\approx0$):

import math
f1, f2 = 9.0, 11.0
w1, w2 = 2*math.pi*f1, 2*math.pi*f2
# частота биений = |f1 - f2| = 2 Гц, период огибающей 0.5 с
for t in [0.0, 0.125, 0.25, 0.375, 0.5]:
    s = math.cos(w1*t) + math.cos(w2*t)
    oboln = abs(2 * math.cos((w1 - w2)/2 * t))
    print(f"t={t:>5}: сумма={round(s,3):>7}  огибающая={round(oboln,3)}")

Вывод:

t=  0.0: сумма=    2.0  огибающая=2.0
t=0.125: сумма=    0.0  огибающая=1.414
t= 0.25: сумма=   -0.0  огибающая=0.0
t=0.375: сумма=    0.0  огибающая=1.414
t=  0.5: сумма=   -2.0  огибающая=2.0
Значения округлены

Огибающая обращается в ноль в $t=0.25$ — это «провал» громкости в середине периода биений. Период огибающей здесь $0.5$ с, поэтому частота биений равна $1/0.5=2$ Гц — ровно разность частот: $|11-9|=2$ Гц.

Где это слышно

Музыканты используют биения для настройки инструментов: если две струны звучат чуть по-разному, слышна пульсация. Сводя биения к нулю, добиваются одинаковой частоты. Тот же эффект применяют в радиотехнике (гетеродинирование) для переноса сигнала на другую частоту.

Как работает под капотом

В комплексной записи сложение $e^{i\omega_1 t}+e^{i\omega_2 t}$ можно вынести за скобку среднюю частоту: $e^{i\bar\omega t}\big(e^{i\Delta t}+e^{-i\Delta t}\big)=2e^{i\bar\omega t}\cos(\Delta t)$, где $\bar\omega$ — средняя частота, а $\Delta=(\omega_1-\omega_2)/2$. Множитель $\cos(\Delta t)$ и есть медленная огибающая. Комплексные экспоненты делают этот вывод аккуратнее, чем громоздкие тригонометрические преобразования.

Частые ошибки

Считать частоту биений равной средней частоте. Она равна разности частот $|f_1-f_2|$.
Считать, что амплитуда пульсирует с частотой $(f_1-f_2)/2$. Из-за модуля огибающая обнуляется вдвое чаще, поэтому слышимая частота биений равна полной разности $|f_1-f_2|$.
Складывать амплитуды колебаний разных частот как одно число — у них нет общего фазора.

Итог

Сумма двух колебаний близких частот — быстрое колебание под медленной огибающей.
Частота биений равна разности частот $|f_1-f_2|$.
Биения используют для настройки инструментов и в радиотехнике.