Идея спектра

Любой периодический сигнал — это сумма простых синусоид; набор их амплитуд и есть спектр.

Спектр — представление сигнала как набора частот с их амплитудами и фазами вместо зависимости от времени.

Сигнал во времени и в частотах

Обычно сигнал задают как зависимость от времени: для каждого момента $t$ известно значение. Но есть другой, не менее полный способ: указать, из каких частотных составляющих (гармоник) он сложен и с какими амплитудами. Это и есть спектр. Переход «время → частота» — одна из главных идей в обработке сигналов.

Идея опирается на теорему Фурье: достаточно богатый периодический сигнал представим суммой синусоид кратных частот:

$$s(t)=\sum_{k} A_k\cos(k\omega_0 t+\varphi_k).$$

Каждой гармонике $k$ соответствуют амплитуда $A_k$ и фаза $\varphi_k$. Набор амплитуд $\{A_k\}$ называют амплитудным спектром, набор фаз — фазовым.

Пример: меандр из синусоид

Прямоугольный сигнал (меандр) раскладывается в ряд только из нечётных гармоник с амплитудами $\sim1/k$. Сложим несколько первых и посмотрим, как сумма приближается к прямоугольнику:

import math
def chastichnaya_summa(t, n):
    s = 0.0
    for k in range(1, n+1, 2):  # только нечётные k
        s += math.sin(k * t) / k
    return 4/math.pi * s
t = math.pi / 2  # здесь меандр равен +1
for n in [1, 3, 9, 49]:
    print(f"гармоник до {n:>2}: {round(chastichnaya_summa(t, n), 4)}")

Вывод:

гармоник до  1: 1.2732
гармоник до  3: 0.8488
гармоник до  9: 1.0631
гармоник до 49: 1.0127
Значения округлены

С ростом числа гармоник сумма всё ближе к значению $1$ — меандр «собирается» из синусоид. Чем больше высокочастотных гармоник, тем резче фронты сигнала.

Зачем нужен спектр

В частотной области многие задачи решаются проще: фильтрация шума — это ослабление ненужных частот; сжатие звука (MP3) выбрасывает частоты, которые ухо не слышит; настройка эквалайзера — усиление или ослабление отдельных полос спектра. Все эти операции естественны именно в частотном представлении.

Как работает под капотом

Связь с комплексными числами прямая: каждую гармонику удобно записывать как комплексную экспоненту $A_k e^{i\varphi_k}e^{ik\omega_0 t}$. Тогда амплитуда и фаза гармоники — это модуль и аргумент одного комплексного коэффициента. Инструмент, который по сигналу вычисляет эти коэффициенты, — преобразование Фурье, и оно целиком построено на $e^{i\varphi}$. Численную версию (ДПФ) мы разберём в последнем разделе.

Частые ошибки

• Думать, что спектр «теряет» информацию. Полный спектр (амплитуды и фазы) эквивалентен сигналу — это просто другой язык.
• Забывать про фазы. Без фазового спектра восстановить сигнал нельзя.
• Считать, что любой сигнал состоит из конечного числа гармоник. У резких фронтов (меандр) гармоник бесконечно много.

Итог

• Спектр — описание сигнала через частоты, амплитуды и фазы вместо времени.
• Периодический сигнал — сумма гармоник кратных частот (ряд Фурье).
• Каждая гармоника — комплексный коэффициент $A_k e^{i\varphi_k}$; спектр вычисляет преобразование Фурье.