Расчёт RLC-цепи и резонанс

Собираем резистор, катушку и конденсатор в одну цепь и считаем её полностью.

Резонанс в последовательной RLC-цепи наступает, когда реактивные сопротивления компенсируются: $\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$, и импеданс становится чисто активным.

Суммарный импеданс

В последовательной цепи импедансы складываются (как сопротивления при постоянном токе, но комплексно):

$$Z=R+i\omega L+\frac{1}{i\omega C}=R+i\Big(\omega L-\frac{1}{\omega C}\Big).$$

Вещественная часть $R$ — активное сопротивление, мнимая $X=\omega L-\dfrac{1}{\omega C}$ — суммарное реактивное. Посчитаем цепь $R=10$ Ом, $L=0.05$ Гн, $C=100$ мкФ при питании $\dot{U}=220$ В на частоте $50$ Гц:

import cmath, math
f = 50.0
w = 2 * math.pi * f
R, L, C = 10.0, 0.05, 100e-6
Z = R + 1j*w*L + 1/(1j*w*C)
U = 220 + 0j
I = U / Z
print("Z =", complex(round(Z.real,3), round(Z.imag,3)), "Ом")
print("|Z| =", round(abs(Z), 3), "Ом")
print("Ток: амплитуда", round(abs(I), 3), "А, фаза", round(math.degrees(cmath.phase(I)), 2), "град")

Вывод:

Z = (10-16.123j) Ом
|Z| = 18.972 Ом
Ток: амплитуда 11.596 А, фаза 58.19 град
Значения округлены

Реактивная часть отрицательная ($-16.1i$): на $50$ Гц у этой цепи преобладает ёмкость, поэтому ток опережает напряжение (фаза тока положительная, $+58^\circ$).

Условие резонанса

Реактивная часть обнуляется, когда $\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$. Отсюда резонансная частота:

$$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.$$

На резонансе импеданс минимален и равен чистому $R$, а ток максимален. Найдём резонансную частоту нашей цепи:

import math
L, C = 0.05, 100e-6
w0 = 1 / math.sqrt(L * C)
f0 = w0 / (2 * math.pi)
print("Резонансная частота:", round(f0, 2), "Гц")

Вывод:

Резонансная частота: 71.18 Гц

Резонанс наступит на $71$ Гц — выше частоты сети. Поэтому на $50$ Гц цепь и оказалась ёмкостной: рабочая частота ниже резонансной.

Как работает под капотом

На резонансе энергия «перекачивается» между катушкой и конденсатором, а источник лишь компенсирует потери на резисторе. Чем меньше $R$, тем острее резонансный пик — это свойство используют в радиоприёмниках для выделения нужной станции из эфира. Комплексный импеданс позволяет рассчитать всё это, просто приравняв мнимую часть к нулю.

Частые ошибки

• Складывать модули импедансов вместо самих комплексных импедансов. Складываются комплексные числа.
• Считать, что на резонансе ток равен нулю. Наоборот, импеданс минимален и ток максимален.
• Путать знак реактивности: положительная мнимая часть — индуктивный характер, отрицательная — ёмкостный.

Итог

• В последовательной цепи импедансы складываются: $Z=R+i(\omega L-1/(\omega C))$.
• Резонанс при $\omega_0=1/\sqrt{LC}$ обнуляет реактивность; импеданс становится чисто активным.
• На резонансе ток максимален — это основа настройки радиоприёмников.