Метод комплексных амплитуд

Превращаем синусоиды в комплексные амплитуды и считаем цепь как простую алгебру.

Комплексная амплитуда (фазор) — комплексное число $\dot{U}=U_m e^{i\varphi}$, кодирующее амплитуду $U_m$ и начальную фазу $\varphi$ синусоидального сигнала.

Идея метода

Синусоидальное напряжение $u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi)$ можно представить как вещественную часть вращающегося вектора:

$$u(t)=\operatorname{Re}\big(U_m e^{i\varphi}\cdot e^{i\omega t}\big).$$

Множитель $e^{i\omega t}$ одинаков для всех сигналов в цепи на одной частоте, поэтому его можно «вынести за скобки» и не писать. Остаётся только комплексная амплитуда $\dot{U}=U_m e^{i\varphi}$. Вся информация о сигнале (амплитуда и фаза) уместилась в одно число.

Закон Ома для фазоров

В таком представлении дифференциальные уравнения цепи превращаются в обычный закон Ома, но с комплексными величинами:

$$\dot{U}=\dot{I}\cdot Z.$$

Здесь $\dot{U}$ и $\dot{I}$ — комплексные амплитуды напряжения и тока, а $Z$ — импеданс. Зная два, находим третье обычным делением или умножением.

Пример: RL-цепь

Пусть к источнику $\dot{U}=100$ В (фаза $0$) подключены последовательно резистор $R=30$ Ом и катушка с реактивным сопротивлением $X_L=40$ Ом. Импеданс $Z=30+40i$. Найдём ток:

import cmath, math
U = 100 + 0j      # комплексная амплитуда напряжения, В
Z = 30 + 40j      # импеданс, Ом
I = U / Z
print("Ток I =", complex(round(I.real, 3), round(I.imag, 3)), "А")
print("Амплитуда тока:", round(abs(I), 3), "А")
print("Фаза тока:", round(math.degrees(cmath.phase(I)), 2), "градусов")

Вывод:

Ток I = (1.2-1.6j) А
Амплитуда тока: 2.0 А
Фаза тока: -53.13 градусов

Модуль импеданса $|Z|=\sqrt{30^2+40^2}=50$ Ом, поэтому амплитуда тока $100/50=2$ А. Фаза тока $-53^\circ$: ток отстаёт от напряжения, потому что в цепи преобладает индуктивность.

Как работает под капотом

Почему метод работает? Дифференцирование $e^{i\omega t}$ даёт множитель $i\omega$, поэтому каждый элемент (резистор, катушка, конденсатор) описывается своим постоянным комплексным коэффициентом — импедансом. Система дифференциальных уравнений Кирхгофа превращается в систему линейных алгебраических уравнений над $\mathbb{C}$. А линейную алгебру решать неизмеримо проще, чем дифуры.

Частые ошибки

• Складывать амплитуды напряжений на $R$ и $L$ арифметически. Их нужно складывать как комплексные числа (с учётом фаз).
• Игнорировать знак фазы тока: минус означает отставание, плюс — опережение.
• Применять метод к непериодическим или нелинейным сигналам — он работает только для синусоид одной частоты.

Итог

• Фазор $\dot{U}=U_m e^{i\varphi}$ кодирует амплитуду и фазу синусоиды.
• Закон Ома принимает вид $\dot{U}=\dot{I}\,Z$ с комплексными величинами.
• Дифференциальные уравнения цепи становятся линейной алгеброй.