Импеданс: комплексное сопротивление

Обобщаем сопротивление на переменный ток: у катушки и конденсатора оно становится мнимым.

Импеданс $Z$ — комплексное сопротивление элемента переменному току; его модуль показывает «насколько трудно» течь току, а аргумент — сдвиг фаз между током и напряжением.

Три базовых элемента

В цепи переменного тока с угловой частотой $\omega$ импеданс зависит от типа элемента:

Элемент	Импеданс $Z$	Смысл
Резистор $R$	$R$	чисто вещественный, фаза $0$
Катушка $L$	$i\omega L$	чисто мнимый, ток отстаёт на $90^\circ$
Конденсатор $C$	$\dfrac{1}{i\omega C}=-\dfrac{i}{\omega C}$	чисто мнимый, ток опережает на $90^\circ$

У резистора напряжение и ток синхронны, поэтому импеданс вещественный. У катушки и конденсатора возникает сдвиг фаз на $90^\circ$ — и именно его кодирует мнимая единица.

Зависимость от частоты

Импеданс катушки растёт с частотой ($i\omega L$), а у конденсатора падает ($1/(i\omega C)$). Поэтому на высоких частотах катушка «запирает» ток, а конденсатор пропускает. Посчитаем оба импеданса для частоты сети $50$ Гц:

import math
f = 50.0           # частота, Гц
w = 2 * math.pi * f # угловая частота
L = 0.05           # индуктивность, Гн
C = 100e-6         # ёмкость, Ф
ZL = 1j * w * L
ZC = 1 / (1j * w * C)
print("omega =", round(w, 2), "рад/с")
print("Z_L =", complex(0, round(ZL.imag, 3)), "Ом")
print("Z_C =", complex(0, round(ZC.imag, 3)), "Ом")

Вывод:

omega = 314.16 рад/с
Z_L = 15.708j Ом
Z_C = -31.831j Ом
Значения округлены

Импеданс катушки положительно-мнимый ($+15.7i$), конденсатора — отрицательно-мнимый ($-31.8i$). Знаки отражают противоположные фазовые сдвиги.

Как работает под капотом

Откуда берётся мнимая единица? Если ток в катушке меняется как $I e^{i\omega t}$, то напряжение на ней $U=L\,\dfrac{dI}{dt}=i\omega L\cdot Ie^{i\omega t}$. Производная вращающегося вектора $e^{i\omega t}$ даёт множитель $i\omega$ — отсюда и появляется $i$ в импедансе. Дифференцирование во временной области превратилось в умножение на $i\omega$ — в этом вся магия метода.

Частые ошибки

Считать импеданс катушки и конденсатора вещественным. У реактивных элементов он чисто мнимый.
Путать знак: у катушки $+i\omega L$, у конденсатора $-i/(\omega C)$.
Забывать перевести частоту $f$ (Гц) в угловую $\omega=2\pi f$ (рад/с).

Итог

Импеданс — комплексное сопротивление: $R$ для резистора, $i\omega L$ для катушки, $1/(i\omega C)$ для конденсатора.
Мнимая часть кодирует сдвиг фаз на $\pm90^\circ$.
Импеданс катушки растёт с частотой, конденсатора — падает.