Корни из единицы

У комплексного числа $n$ корней $n$-й степени, и они равномерно расставлены по окружности.

Корни из единицы — это $n$ решений уравнения $z^n=1$, расположенные в вершинах правильного $n$-угольника на единичной окружности.

Почему корней несколько

Решим $z^n=1$. Запишем $z=e^{i\theta}$ (модуль обязан быть $1$). Тогда $z^n=e^{in\theta}=1$ требует, чтобы $n\theta$ был кратен $2\pi$. Отсюда:

$$\theta_k=\frac{2\pi k}{n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.$$

Получается ровно $n$ различных углов, а значит, $n$ корней:

$$z_k=e^{i\,2\pi k/n}=\cos\frac{2\pi k}{n}+i\sin\frac{2\pi k}{n}.$$

Они равномерно расставлены по окружности с шагом $360^\circ/n$, образуя вершины правильного многоугольника. Первый корень ($k=0$) всегда равен $1$.

Пример: кубические корни из единицы

Для $n=3$ корни стоят через $120^\circ$. Посчитаем их:

import cmath, math
n = 3
for k in range(n):
    z = cmath.exp(2j * math.pi * k / n)
    print(f"k={k}: {complex(round(z.real,4), round(z.imag,4))}")

Вывод:

k=0: (1+0j)
k=1: (-0.5+0.866j)
k=2: (-0.5-0.866j)

Три корня: $1$ и пара $-\tfrac12\pm\tfrac{\sqrt3}{2}i$. Проверим, что каждый при возведении в куб даёт единицу:

import cmath, math
n = 3
for k in range(n):
    z = cmath.exp(2j * math.pi * k / n)
    cube = z**3
    print(f"k={k}: z^3 = {complex(round(cube.real,4), round(cube.imag,4))}")

Вывод:

k=0: z^3 = (1+0j)
k=1: z^3 = (1-0j)
k=2: z^3 = (1-0j)

Корень из произвольного числа

Для $z^n=w$, где $w=Re^{i\psi}$, корни имеют модуль $\sqrt[n]{R}$ и углы $\dfrac{\psi+2\pi k}{n}$. То есть берём арифметический корень из модуля и делим угол, добавляя по $2\pi k$. Правило одно — корней всегда $n$.

Как работает под капотом

Корни из единицы — не просто красивая картинка. Они стоят в основе быстрого преобразования Фурье (БПФ): тот раскладывает сигнал, опираясь именно на степени корня $e^{-2\pi i/n}$. Симметрия этих корней позволяет алгоритму БПФ работать за $n\log n$ вместо $n^2$ операций. Так геометрия многоугольника превращается в практическую скорость обработки сигналов.

Частые ошибки

• Считать, что корень один. У уравнения $z^n=w$ ровно $n$ корней (при $w\ne0$).
• Забывать про слагаемое $2\pi k$ в углах — тогда теряются все корни, кроме одного.
• Извлекать корень из модуля «в комплексном смысле»: модуль вещественный и положительный, корень из него обычный арифметический.

Итог

• Уравнение $z^n=1$ имеет $n$ корней: $z_k=e^{i\,2\pi k/n}$.
• Корни лежат в вершинах правильного $n$-угольника на единичной окружности.
• Они лежат в основе быстрого преобразования Фурье.