Формула Муавра
Возводим комплексное число в степень одним движением: модуль в степень, угол умножаем на $n$.
Формула Муавра: $\big(r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\big)^n=r^n\big(\cos n\varphi+i\sin n\varphi\big)$.
Откуда она
В показательной форме всё мгновенно: $\big(re^{i\varphi}\big)^n=r^n e^{in\varphi}$. Применив формулу Эйлера к правой части, получаем классическую запись Муавра. То есть при возведении в степень $n$ модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на $n$.
Пример
Возьмём $z=2e^{i\pi/6}$ (модуль $2$, угол $30^\circ$) и возведём в куб. Ожидаем модуль $2^3=8$ и угол $3\cdot30^\circ=90^\circ$, то есть число $8i$.
import cmath, math
z = cmath.rect(2, math.pi/6)
z3 = z**3
print("z^3 =", complex(round(z3.real, 4), round(z3.imag, 4)))
print("модуль:", round(abs(z3), 4), " угол(град):", round(math.degrees(cmath.phase(z3)), 2))Вывод:
z^3 = 8j модуль: 8.0 угол(град): 90.0
Получили ровно $8i$: модуль $8$, угол $90^\circ$ — формула Муавра работает.
Зачем она нужна
Без формулы Муавра возвести $(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ в десятую степень — это десять перемножений с раскрытием скобок. С формулой — одна строчка. Кроме того, она даёт изящный способ выводить тригонометрические тождества. Например, для $n=2$:
$$(\cos\varphi+i\sin\varphi)^2=\cos2\varphi+i\sin2\varphi.$$
Раскрыв левую часть как квадрат двучлена, получаем $\cos^2\varphi-\sin^2\varphi+2i\sin\varphi\cos\varphi$. Приравняв вещественные и мнимые части, сразу получаем формулы двойного угла: $\cos2\varphi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi$ и $\sin2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi$.
import math
phi = 0.7
levo_re = math.cos(phi)**2 - math.sin(phi)**2
levo_im = 2 * math.sin(phi) * math.cos(phi)
print("cos2phi из тождества:", round(levo_re, 6), " прямо:", round(math.cos(2*phi), 6))
print("sin2phi из тождества:", round(levo_im, 6), " прямо:", round(math.sin(2*phi), 6))Вывод:
cos2phi из тождества: 0.169967 прямо: 0.169967 sin2phi из тождества: 0.985450 прямо: 0.985450
Как работает под капотом
Формула Муавра — частный случай свойства степеней показательной формы. Поскольку угол умножается на $n$, точка при возведении в степень «накручивает» обороты вокруг начала координат. Это сразу подсказывает обратную задачу: если степень накручивает угол, то корень делит угол — и потому корней получается несколько. Об этом следующий урок.
Частые ошибки
- Забывать возводить модуль в степень: в $z^n$ модуль становится $r^n$, а не остаётся $r$.
- Умножать на $n$ только косинус, забывая про синус. Множится весь аргумент.
- Применять формулу к декартовой записи напрямую. Сначала перейдите к полярной форме.
Итог
- Формула Муавра: модуль возводится в степень, угол умножается на $n$.
- Она ускоряет возведение в степень и выводит тригонометрические тождества.
- Накрутка угла при степени объясняет множественность корней.