Дальность полёта: формула Бреге

Сколько километров пролетит самолёт на одной заправке? Ответ даёт классическая формула Бреге.

Формула Бреге связывает дальность полёта с аэродинамическим качеством, удельным расходом топлива двигателя и отношением начальной и конечной массы самолёта.

Дальность — ключевая характеристика любого самолёта. Удивительно, но она логарифмически зависит от массы топлива: чтобы пролететь вдвое дальше, недостаточно взять вдвое больше топлива.

Формула Бреге для реактивного самолёта

Для реактивного двигателя дальность $R$ выражается так:

$$ R = \frac{v}{g\, c_t}\,\frac{C_L}{C_D}\,\ln\frac{m_0}{m_1} $$

где $v$ — скорость, $c_t$ — удельный расход топлива (на единицу тяги), $C_L/C_D$ — аэродинамическое качество $K$, $m_0$ и $m_1$ — масса до и после выработки топлива. Логарифм отвечает за «закон уменьшающейся отдачи»: каждый следующий килограмм топлива даёт всё меньший прирост дальности.

Считаем дальность

import math
g = 9.81
v = 220.0      # м/с крейсерская скорость
ct = 1.8e-5    # кг/(Н*с) удельный расход
K = 17.0       # аэродинамическое качество
m0 = 60000.0   # взлётная масса, кг
for fuel_frac in (0.2, 0.4):
    m1 = m0 * (1 - fuel_frac)
    R = (v / (g * ct)) * K * math.log(m0 / m1)
    print(f"топлива {fuel_frac*100:.0f}%: дальность R = {R/1000:5.0f} км")

Вывод:

топлива 20%: дальность R =  4661 км
топлива 40%: дальность R = 10662 км

Обратите внимание: удвоение доли топлива (с 20% до 40%) увеличило дальность более чем вдвое — потому что лёгкий в конце самолёт «экономнее». Но логарифм всё равно ограничивает выгоду от огромных запасов топлива.

Как работает под капотом

Формула Бреге выводится из простого баланса: за время $dt$ двигатель сжигает топливо, масса убывает, и каждый момент дальность набирается как $v\,dt$. Интегрирование убывающей массы и даёт логарифм. Для максимальной дальности реактивный самолёт летит на режиме максимального качества $K$ — там тяга на километр минимальна.

Частые ошибки

Считать дальность линейной по топливу. Зависимость логарифмическая: запас топлива даёт убывающую отдачу.
Брать постоянную массу. В формуле важно именно отношение $m_0/m_1$ — изменение массы по мере выработки.
Путать формулы для реактивного и винтового самолётов — у них разные множители (об этом в следующем уроке).

Итог

Дальность по Бреге: $R=\dfrac{v}{g c_t} K \ln\dfrac{m_0}{m_1}$ для реактивного самолёта.
Зависимость от топлива логарифмическая — закон уменьшающейся отдачи.
Максимальная дальность достигается на режиме максимального качества $K$.