Продолжительность полёта и винтовой самолёт

«Лететь дальше всего» и «продержаться в воздухе дольше всего» — это разные режимы полёта.

Продолжительность полёта — время, которое самолёт может провести в воздухе на имеющемся топливе; она максимальна на режиме минимального расхода топлива в час, а не на режиме максимальной дальности.

Патрульному самолёту или разведчику важна продолжительность (время барражирования), а лайнеру — дальность. Эти задачи требуют разных скоростей и режимов, и формулы Бреге это формализуют.

Дальность и продолжительность винтового самолёта

У винтового самолёта (поршневой или турбовинтовой) расход топлива пропорционален мощности, поэтому формулы отличаются. Дальность:

$$ R = \frac{\eta}{g\, c_p}\,\frac{C_L}{C_D}\,\ln\frac{m_0}{m_1} $$

а продолжительность:

$$ E = \frac{\eta}{g\, c_p}\,\frac{C_L^{3/2}}{C_D}\,\sqrt{2\rho S}\left(\frac{1}{\sqrt{m_1}}-\frac{1}{\sqrt{m_0}}\right) $$

где $\eta$ — КПД винта, $c_p$ — удельный расход на единицу мощности. Ключевое отличие: дальность максимальна при максимуме $C_L/C_D$ (качества $K$), а продолжительность — при максимуме $C_L^{3/2}/C_D$ (это режим минимальной мощности, на меньшей скорости).

Сравниваем режимы

import math
Cd0 = 0.025; e = 0.8; A = 8.0
k = 1.0 / (math.pi * e * A)
best_range = (0, 0); best_endur = (0, 0)
for i in range(3, 20):
    Cl = 0.1 * i
    Cd = Cd0 + k * Cl * Cl
    range_param = Cl / Cd          # для дальности
    endur_param = Cl**1.5 / Cd     # для продолжительности
    if range_param > best_range[0]:
        best_range = (range_param, Cl)
    if endur_param > best_endur[0]:
        best_endur = (endur_param, Cl)
print(f"Макс. дальность:       при Cl={best_range[1]:.1f} (Cl/Cd={best_range[0]:.1f})")
print(f"Макс. продолжительность: при Cl={best_endur[1]:.1f} (Cl^1.5/Cd={best_endur[0]:.1f})")

Вывод:

Макс. дальность:       при Cl=0.7 (Cl/Cd=15.9)
Макс. продолжительность: при Cl=1.2 (Cl^1.5/Cd=14.3)

Режим максимальной продолжительности требует большего $C_L$ (а значит, меньшей скорости), чем режим максимальной дальности. Поэтому патрульный самолёт «висит» медленнее, чем летел бы для максимального километража.

Как работает под капотом

Продолжительность определяется тем, как мало топлива самолёт жжёт в час, а это связано с потребной мощностью $P=Dv$. Минимум мощности достигается на меньшей скорости, чем минимум тяги. Поэтому для винтового самолёта режим максимальной продолжительности — это режим минимальной потребной мощности, то есть полёт на максимуме $C_L^{3/2}/C_D$.

Частые ошибки

Считать, что режимы дальности и продолжительности совпадают. Это разные скорости и разные $C_L$.
Применять реактивную формулу к винтовому самолёту: у винтового расход зависит от мощности, не от тяги.
Забывать про КПД винта $\eta$: он входит множителем в обе формулы.

Итог

Дальность винтового самолёта максимальна при максимуме $C_L/C_D$, продолжительность — при максимуме $C_L^{3/2}/C_D$.
Режим максимальной продолжительности медленнее режима максимальной дальности.
Формулы Бреге для винтового и реактивного самолётов различаются множителями из-за разной природы расхода топлива.