Уравнение Клаузиуса-Клапейрона

Урок объясняет, почему в горах вода кипит при пониженной температуре, и считает это.

Уравнение Клаузиуса-Клапейрона связывает давление насыщенного пара с температурой через теплоту парообразования: $\dfrac{dp}{dT} = \dfrac{L}{T\,\Delta V}$.

Кипение — это когда давление насыщенного пара сравнивается с внешним давлением. В горах атмосферное давление ниже, поэтому пар «догоняет» его при меньшей температуре, и вода кипит, например, при 93 °C. Количественно эту связь даёт уравнение Клаузиуса-Клапейрона.

Интегральная форма

Если пренебречь объёмом жидкости и считать пар идеальным, уравнение интегрируется в удобную форму:

$$\ln\frac{p_2}{p_1} = -\frac{L}{R}\left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right)$$

Здесь $L$ — молярная теплота парообразования (Дж/моль), $R$ — газовая постоянная. Зная давление кипения при одной температуре, находим температуру кипения при другом давлении.

import math
L = 40700.0      # Дж/моль (молярная теплота парообразования воды)
R = 8.314
T1 = 373.15      # K, кипение при 101325 Па
p1 = 101325.0
p2 = 80000.0     # пониженное давление (горы ~2000 м)
inv_T2 = 1 / T1 - (R / L) * math.log(p2 / p1)
T2 = 1 / inv_T2
print("Температура кипения при", p2, "Па =", round(T2 - 273.15, 1), "C")

Вывод:

Температура кипения при 80000.0 Па = 93.4 C

При давлении 80 кПа (примерно высота 2 км) вода закипает уже при 93 °C — поэтому в горах труднее сварить продукты, тепла при кипении меньше.

Линия фазового равновесия

Уравнение описывает кривую на диаграмме $p$–$T$, разделяющую жидкость и пар. Её наклон тем круче, чем больше теплота перехода $L$ и меньше изменение объёма $\Delta V$. Аналогичные кривые разделяют твёрдую фазу и жидкость, а все три встречаются в тройной точке вещества.

Как работает под капотом

Уравнение — прямое следствие равенства энтропий и давлений двух фаз в равновесии. Множитель $L/(T\Delta V)$ показывает: чем больше скрытая теплота и чем сильнее меняется объём при переходе, тем чувствительнее давление пара к температуре. Логарифмическая форма работает потому, что $\Delta V \approx V_{\text{пар}} = RT/p$ для идеального пара, и переменные разделяются.

Частые ошибки

Брать удельную теплоту (на кг) вместо молярной (на моль) — тогда $R$ не согласуется по единицам.
Подставлять температуру в °C: в $1/T$ обязателен Кельвин.
Считать давление пара линейной функцией температуры; зависимость экспоненциальная.

Итог

Клаузиус-Клапейрон связывает давление пара с температурой через $L$.
Интегральная форма: $\ln(p_2/p_1) = -\dfrac{L}{R}\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right)$.
При пониженном давлении точка кипения снижается — вода в горах кипит холоднее.