Теплопроводность: закон Фурье

Урок вводит закон Фурье и считает теплопотери через ограждающую конструкцию.

Теплопроводность — перенос теплоты в неподвижной среде от горячих участков к холодным за счёт столкновений частиц. Закон Фурье: $q = -\lambda\,\dfrac{dT}{dx}$.

Если один конец металлического стержня нагреть, тепло «поползёт» к холодному концу. Скорость этого процесса описывает закон Фурье: плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры. Знак минус показывает, что тепло течёт в сторону убывания температуры.

Закон Фурье

Плотность потока теплоты (Вт/м²):

$$q = -\lambda\,\frac{dT}{dx}$$

Коэффициент $\lambda$ (Вт/(м·К)) — теплопроводность материала. У металлов она велика (медь $\approx 400$), у утеплителей мала (минвата $\approx 0{,}04$). Для плоской стены толщиной $L$ с перепадом $\Delta T$ полный поток через площадь $A$:

$$Q = \lambda\,A\,\frac{\Delta T}{L}$$

lam = 0.04        # Вт/(м*К), минвата
A = 10.0          # м^2
dT = 20.0         # К (разность температур)
L = 0.10          # м (толщина)
Q = lam * A * dT / L
print("Тепловой поток через стену Q =", Q, "Вт")

Вывод:

Тепловой поток через стену Q = 80.0 Вт

Тепловое сопротивление

Удобно вводить тепловое сопротивление $R = L/\lambda$. Тогда поток $Q = A\,\Delta T/R$, по аналогии с законом Ома. Слои стены складываются как последовательные сопротивления: чем толще утеплитель и меньше его $\lambda$, тем выше $R$ и меньше потери.

Как работает под капотом

В твёрдом теле тепло переносят колебания решётки (фононы), а в металлах — ещё и свободные электроны, поэтому металлы хорошо проводят тепло. В газах и пористых утеплителях частицы редки, передача идёт медленно — отсюда низкая $\lambda$. Воздух в порах минваты почти не движется, и его слабая теплопроводность и делает утеплитель эффективным.

Частые ошибки

Подставлять толщину в сантиметрах вместо метров — поток завышается в десятки раз.
Забывать про площадь $A$: закон даёт плотность потока $q$, для полного потока нужно умножить на площадь.
Путать высокую $\lambda$ (хороший проводник) и хорошую теплоизоляцию (низкая $\lambda$).

Итог

Закон Фурье: $q = -\lambda\,dT/dx$, поток пропорционален градиенту.
Для стены $Q = \lambda A\,\Delta T/L$.
Тепловое сопротивление $R=L/\lambda$ складывается по слоям.